Номер 2, страница 55 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Обсудить в классе. Параграф 15. Равномерное движение точки по окружности. Глава 1. Кинематика точки и твёрдого тела - номер 2, страница 55.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Для решения задачи предположим, что точка движется по окружности радиуса $R$ с постоянной по модулю скоростью $v$ (равномерное движение по окружности).

Среднее ускорение $\vec{\langle a \rangle}$ определяется как отношение изменения вектора скорости $\Delta \vec{v}$ к промежутку времени $\Delta t$, за который это изменение произошло:

$\vec{\langle a \rangle} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{\vec{v}_f - \vec{v}_i}{\Delta t}$

где $\vec{v}_i$ и $\vec{v}_f$ — начальный и конечный векторы скорости соответственно. При движении по окружности вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории.

Период обращения точки (время одного полного оборота) равен $T = \frac{2\pi R}{v}$.

1) точка прошла четверть оборота

Рассмотрим промежуток времени $\Delta t_1 = \frac{T}{4} = \frac{2\pi R}{4v} = \frac{\pi R}{2v}$. За это время вектор скорости повернется на угол $90^\circ$. Пусть начальная скорость $\vec{v}_i$ направлена вертикально вверх, тогда конечная скорость $\vec{v}_f$ будет направлена горизонтально. Модули скоростей равны: $|\vec{v}_i| = |\vec{v}_f| = v$.

Изменение скорости $\Delta \vec{v}_1 = \vec{v}_f - \vec{v}_i$. Модуль этого вектора можно найти по теореме Пифагора (так как векторы $\vec{v}_f$ и $-\vec{v}_i$ перпендикулярны):

$|\Delta \vec{v}_1| = \sqrt{|\vec{v}_f|^2 + |-\vec{v}_i|^2} = \sqrt{v^2 + v^2} = \sqrt{2v^2} = v\sqrt{2}$

Теперь найдем модуль среднего ускорения:

$|\vec{\langle a \rangle}_1| = \frac{|\Delta \vec{v}_1|}{\Delta t_1} = \frac{v\sqrt{2}}{\frac{\pi R}{2v}} = \frac{2\sqrt{2}v^2}{\pi R}$

Ответ: Модуль среднего ускорения за четверть оборота равен $|\vec{\langle a \rangle}_1| = \frac{2\sqrt{2}v^2}{\pi R}$.

2) точка прошла пол-оборота

Рассмотрим промежуток времени $\Delta t_2 = \frac{T}{2} = \frac{2\pi R}{2v} = \frac{\pi R}{v}$. За это время точка окажется в диаметрально противоположной точке окружности, и ее вектор скорости изменит направление на противоположное. Если начальная скорость была $\vec{v}_i$, то конечная скорость будет $\vec{v}_f = -\vec{v}_i$.

Изменение скорости $\Delta \vec{v}_2 = \vec{v}_f - \vec{v}_i = -\vec{v}_i - \vec{v}_i = -2\vec{v}_i$.

Модуль изменения скорости:

$|\Delta \vec{v}_2| = |-2\vec{v}_i| = 2|\vec{v}_i| = 2v$

Найдем модуль среднего ускорения:

$|\vec{\langle a \rangle}_2| = \frac{|\Delta \vec{v}_2|}{\Delta t_2} = \frac{2v}{\frac{\pi R}{v}} = \frac{2v^2}{\pi R}$

Ответ: Модуль среднего ускорения за половину оборота равен $|\vec{\langle a \rangle}_2| = \frac{2v^2}{\pi R}$.

3) точка сделала полный оборот

Рассмотрим промежуток времени $\Delta t_3 = T = \frac{2\pi R}{v}$. За это время точка вернется в исходное положение. Вектор ее скорости также вернется к своему начальному значению, так как точка окажется в том же месте с той же скоростью и направлением движения. Таким образом, $\vec{v}_f = \vec{v}_i$.

Изменение скорости:

$\Delta \vec{v}_3 = \vec{v}_f - \vec{v}_i = \vec{v}_i - \vec{v}_i = \vec{0}$

Модуль изменения скорости равен нулю. Следовательно, модуль среднего ускорения также равен нулю:

$|\vec{\langle a \rangle}_3| = \frac{|\Delta \vec{v}_3|}{\Delta t_3} = \frac{0}{T} = 0$

Ответ: Модуль среднего ускорения за полный оборот равен 0.

Общий вывод:

Сравним модули средних ускорений в трех случаях:

$|\vec{\langle a \rangle}_1| = \frac{2\sqrt{2}v^2}{\pi R} \approx \frac{2 \cdot 1.414}{\pi} \frac{v^2}{R} \approx \frac{2.828}{\pi} \frac{v^2}{R}$

$|\vec{\langle a \rangle}_2| = \frac{2v^2}{\pi R}$

$|\vec{\langle a \rangle}_3| = 0$

Поскольку $\sqrt{2} > 1$, то $|\vec{\langle a \rangle}_1| > |\vec{\langle a \rangle}_2|$. Оба этих значения больше нуля. Таким образом, модуль среднего ускорения будет уменьшаться: он максимален для четверти оборота, становится меньше для половины оборота и равен нулю для полного оборота.