Номер 3, страница 50 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Обсудить в классе. Параграф 13. Движение с постоянным ускорением свободного падения. Глава 1. Кинематика точки и твёрдого тела - номер 3, страница 50.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

Движение тела, брошенного под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v_0$ (сопротивление воздуха не учитывается).

Формула дальности полёта: $L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Формула максимальной высоты полёта: $H = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}$

Найти:

1. Угол $\alpha$, при котором дальность полёта $L$ будет максимальна.

2. Угол $\alpha$, при котором высота полёта $H$ будет максимальна.

3. Угол $\alpha$, при котором высота полёта будет равна дальности ($H=L$).

Решение:

Угол, при котором дальность полёта будет максимальна

Рассмотрим формулу дальности полёта $L(\alpha) = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$. При постоянной начальной скорости $v_0$ и ускорении свободного падения $g$, дальность полёта зависит только от угла броска $\alpha$. Максимальное значение дальности будет достигнуто, когда множитель $\sin(2\alpha)$ примет своё максимальное значение. Максимальное значение функции синус равно 1.

$\sin(2\alpha) = 1$

Это равенство выполняется, когда аргумент синуса равен $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан).

$2\alpha = 90^\circ$

$\alpha = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$

Ответ: максимальная дальность полёта достигается при угле броска $45^\circ$.

Угол, при котором высота полёта будет максимальна

Рассмотрим формулу максимальной высоты полёта $H(\alpha) = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}$. Аналогично предыдущему пункту, высота $H$ будет максимальна, когда будет максимален множитель $\sin^2\alpha$. Это происходит, когда $\sin\alpha$ достигает своего максимального значения. Для углов броска от $0^\circ$ до $90^\circ$ максимальное значение $\sin\alpha$ равно 1.

$\sin\alpha = 1$

Это равенство выполняется при угле:

$\alpha = 90^\circ$

Ответ: максимальная высота полёта достигается при угле броска $90^\circ$ (то есть при броске вертикально вверх).

Угол, при котором высота полёта будет равна дальности

Для нахождения этого угла необходимо приравнять выражения для высоты и дальности:

$H = L$

$\frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g} = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Сокращаем обе части уравнения на общий множитель $\frac{v_0^2}{g}$ (предполагая, что $v_0 \neq 0$):

$\frac{\sin^2\alpha}{2} = \sin(2\alpha)$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

$\frac{\sin^2\alpha}{2} = 2\sin\alpha\cos\alpha$

Мы ищем нетривиальное решение, где полёт существует, то есть $\alpha \neq 0$, а значит $\sin\alpha \neq 0$. Можем разделить обе части уравнения на $\sin\alpha$:

$\frac{\sin\alpha}{2} = 2\cos\alpha$

Теперь выразим тангенс угла $\alpha$, который по определению равен $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$:

$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 4$

$\tan\alpha = 4$

Сам угол находится через функцию арктангенса:

$\alpha = \arctan(4)$

Это значение примерно равно $75.96^\circ$.

Ответ: высота полёта равна дальности при угле броска $\alpha = \arctan(4) \approx 76^\circ$.