Номер 1, страница 149 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Обсудить в классе. Параграф 46. Работа силы тяготения. Потенциальная энергия в поле тяготения. Глава 4. Законы сохранения в механике - номер 1, страница 149.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Решение

Для проверки утверждения заполним таблицу, подставляя различные положительные числа вместо $r_i$ и $r_{i+1}$. Утверждение, которое мы проверяем, — это соотношение между произведением двух чисел и квадратом их среднего арифметического. Это является следствием известного неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши).

$r_i$	$r_{i+1}$	$r_i \cdot r_{i+1}$	$r_{ср} = \frac{r_i + r_{i+1}}{2}$	$r_{ср}^2$
2	8	16	$\frac{2+8}{2} = 5$	$5^2 = 25$
5	6	30	$\frac{5+6}{2} = 5.5$	$5.5^2 = 30.25$
4	4	16	$\frac{4+4}{2} = 4$	$4^2 = 16$
10	20	200	$\frac{10+20}{2} = 15$	$15^2 = 225$

Анализируя полученные результаты, можно сделать следующие выводы:

1. Во всех случаях, когда $r_i \neq r_{i+1}$ (первая, вторая и четвертая строки), значение квадрата среднего арифметического ($r_{ср}^2$) оказывается строго больше, чем произведение чисел ($r_i \cdot r_{i+1}$). Например, $25 > 16$, $30.25 > 30$, $225 > 200$.

2. В случае, когда $r_i = r_{i+1}$ (третья строка), значение квадрата среднего арифметического равно произведению чисел: $16 = 16$.

Это наблюдение является демонстрацией неравенства о средних для двух неотрицательных чисел. Неравенство гласит, что среднее арифметическое двух чисел всегда не меньше их среднего геометрического: $$ \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} $$ Если возвести обе части этого неравенства в квадрат (что возможно, так как обе части неотрицательны), мы получим: $$ \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \ge ab $$ В обозначениях из таблицы это записывается как $r_{ср}^2 \ge r_i \cdot r_{i+1}$. Равенство достигается тогда и только тогда, когда числа равны друг другу.

Ответ:

Проверка на различных примерах подтверждает утверждение. Квадрат среднего арифметического двух чисел ($r_{ср}^2$) всегда больше или равен их произведению ($r_i \cdot r_{i+1}$). Равенство $r_{ср}^2 = r_i \cdot r_{i+1}$ выполняется только в том случае, когда $r_i = r_{i+1}$.