Номер 1, страница 151 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Вопросы к параграфу. Параграф 46. Работа силы тяготения. Потенциальная энергия в поле тяготения. Глава 4. Законы сохранения в механике - номер 1, страница 151.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Да, сила тяготения (гравитационная сила) является консервативной силой.

Консервативной называется сила, работа которой при перемещении тела из одной точки пространства в другую не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением тела.

Это свойство можно объяснить несколькими способами:

1. Работа по замкнутому контуру. Эквивалентное определение консервативной силы гласит, что ее работа при перемещении тела по любой замкнутой траектории равна нулю. Рассмотрим тело массой $m$, которое перемещается в гравитационном поле. Если тело возвращается в исходную точку, его потенциальная энергия становится прежней. Работа силы тяготения $A_g$ равна изменению потенциальной энергии со знаком минус: $A_g = -\Delta E_p$. Поскольку при движении по замкнутому контуру начальная и конечная точки совпадают, изменение потенциальной энергии $\Delta E_p = 0$, следовательно, и работа силы тяготения $A_g = 0$.

2. Независимость работы от траектории. Работа силы тяжести при перемещении тела из точки 1 с высотой $h_1$ в точку 2 с высотой $h_2$ в однородном поле тяжести (вблизи поверхности Земли) вычисляется по формуле: $A_g = mg(h_1 - h_2)$ Как видно из формулы, работа зависит только от разности высот начального и конечного положений и не зависит от пути, по которому тело перемещалось.

3. Существование потенциальной энергии. Для любой консервативной силы можно ввести понятие потенциальной энергии. Сила является консервативной, если она может быть представлена как градиент некоторой скалярной функции (потенциальной энергии) со знаком минус.

Для всемирного закона тяготения сила, действующая на тело массы $m$ со стороны тела массы $M$, равна: $\vec{F}_G = -G\frac{Mm}{r^2}\hat{r}$ где $G$ — гравитационная постоянная, $r$ — расстояние между центрами масс тел, а $\hat{r}$ — единичный вектор, направленный от тела $M$ к телу $m$.

Этой силе соответствует гравитационная потенциальная энергия: $E_p(r) = -G\frac{Mm}{r}$

Сила тяготения может быть найдена как производная потенциальной энергии по координате со знаком минус (в данном случае, как градиент): $\vec{F}_G = -\nabla E_p(r) = -\frac{d}{dr}\left(-G\frac{Mm}{r}\right)\hat{r} = -G\frac{Mm}{r^2}\hat{r}$ Поскольку для силы тяготения существует потенциальная энергия, из которой эта сила может быть получена, она является консервативной.

Ответ: Да, сила тяготения является консервативной, потому что ее работа не зависит от траектории движения тела, а определяется только его начальным и конечным положением. Эквивалентно, работа силы тяготения по любому замкнутому контуру равна нулю, а также для этой силы существует функция потенциальной энергии.