Номер 3, страница 151 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

3. Изменится ли значение второй космической скорости, если ракету запустить из глубокой шахты?

Изменится ли значение второй космической скорости, если ракету запустить из глубокой шахты?

Дано:

Случай 1: ракета запускается с поверхности Земли (расстояние от центра $r_1 = R_З$, где $R_З$ — радиус Земли).

Случай 2: ракета запускается из шахты глубиной $h$ (расстояние от центра $r_2 = R_З - h$).

$M_З$ — масса Земли.

$G$ — гравитационная постоянная.

Найти:

Сравнить вторую космическую скорость для случая 2 ($v_{2, \text{шахта}}$) со второй космической скоростью для случая 1 ($v_{2, \text{пов}}$).

Решение:

Да, значение второй космической скорости изменится. Оно увеличится.

Вторая космическая скорость (скорость убегания) — это минимальная начальная скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно преодолело гравитационное поле планеты и удалилось на бесконечность. Эта скорость находится из закона сохранения энергии: полная энергия тела (кинетическая + потенциальная) в момент старта должна равняться нулю (для минимальной скорости).

$E_{полная} = E_k + U = 0$

$\frac{mv^2}{2} + U = 0 \implies v = \sqrt{\frac{-2U}{m}}$

Здесь $m$ — масса ракеты, $U$ — ее потенциальная энергия в гравитационном поле. Как видно из формулы, скорость убегания напрямую зависит от величины потенциальной энергии в точке старта.

Случай 1: Запуск с поверхности.

На поверхности Земли, на расстоянии $r_1 = R_З$ от центра, потенциальная энергия ракеты равна: $U_1 = -G\frac{M_Зm}{R_З}$

Тогда вторая космическая скорость с поверхности: $v_{2, \text{пов}} = \sqrt{\frac{-2(-G\frac{M_Зm}{R_З})}{m}} = \sqrt{\frac{2GM_З}{R_З}}$

Случай 2: Запуск из шахты.

При запуске из шахты ракета находится на расстоянии $r_2 = R_З - h$ от центра, то есть внутри Земли. Потенциальная энергия внутри однородного шара (упрощенная модель Земли) рассчитывается иначе. Она зависит не только от расстояния до центра, но и от радиуса самого шара. Формула для потенциальной энергии в точке на расстоянии $r_2$ от центра: $U_2 = -\frac{GM_Зm}{2R_З^3}(3R_З^2 - r_2^2)$

Эта формула показывает, что чем глубже мы находимся (чем меньше $r_2$), тем меньше (более отрицательна) потенциальная энергия. То есть объект находится в более "глубокой гравитационной яме", и для выхода из нее требуется больше энергии.

Вторая космическая скорость из шахты будет равна: $v_{2, \text{шахта}} = \sqrt{\frac{-2U_2}{m}} = \sqrt{\frac{-2(-\frac{GM_Зm}{2R_З^3}(3R_З^2 - r_2^2))}{m}} = \sqrt{\frac{GM_З}{R_З^3}(3R_З^2 - r_2^2)}$

Теперь сравним $v_{2, \text{шахта}}$ и $v_{2, \text{пов}}$. Поскольку запуск происходит из шахты, то $r_2 < R_З$. Следовательно, $r_2^2 < R_З^2$.

Рассмотрим подкоренное выражение для скорости из шахты: $\frac{GM_З}{R_З^3}(3R_З^2 - r_2^2) > \frac{GM_З}{R_З^3}(3R_З^2 - R_З^2) = \frac{GM_З}{R_З^3}(2R_З^2) = \frac{2GM_З}{R_З}$

Таким образом, мы получили, что подкоренное выражение для $v_{2, \text{шахта}}$ больше, чем подкоренное выражение для $v_{2, \text{пов}}$.

Это означает, что $v_{2, \text{шахта}} > v_{2, \text{пов}}$.

Ответ: Да, значение второй космической скорости при запуске из глубокой шахты изменится — оно станет больше, чем при запуске с поверхности. Это связано с тем, что в шахте тело находится в точке с более низкой (более отрицательной) гравитационной потенциальной энергией, и для ее преодоления требуется сообщить телу большую кинетическую энергию, а следовательно, и большую начальную скорость.