Номер 3, страница 151 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Вопросы к параграфу. Параграф 46. Работа силы тяготения. Потенциальная энергия в поле тяготения. Глава 4. Законы сохранения в механике - номер 3, страница 151.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Изменится ли значение второй космической скорости, если ракету запустить из глубокой шахты?

Дано:

Случай 1: ракета запускается с поверхности Земли (расстояние от центра $r_1 = R_З$, где $R_З$ — радиус Земли).

Случай 2: ракета запускается из шахты глубиной $h$ (расстояние от центра $r_2 = R_З - h$).

$M_З$ — масса Земли.

$G$ — гравитационная постоянная.

Найти:

Сравнить вторую космическую скорость для случая 2 ($v_{2, \text{шахта}}$) со второй космической скоростью для случая 1 ($v_{2, \text{пов}}$).

Решение:

Да, значение второй космической скорости изменится. Оно увеличится.

Вторая космическая скорость (скорость убегания) — это минимальная начальная скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно преодолело гравитационное поле планеты и удалилось на бесконечность. Эта скорость находится из закона сохранения энергии: полная энергия тела (кинетическая + потенциальная) в момент старта должна равняться нулю (для минимальной скорости).

$E_{полная} = E_k + U = 0$

$\frac{mv^2}{2} + U = 0 \implies v = \sqrt{\frac{-2U}{m}}$

Здесь $m$ — масса ракеты, $U$ — ее потенциальная энергия в гравитационном поле. Как видно из формулы, скорость убегания напрямую зависит от величины потенциальной энергии в точке старта.

Случай 1: Запуск с поверхности.

На поверхности Земли, на расстоянии $r_1 = R_З$ от центра, потенциальная энергия ракеты равна: $U_1 = -G\frac{M_Зm}{R_З}$

Тогда вторая космическая скорость с поверхности: $v_{2, \text{пов}} = \sqrt{\frac{-2(-G\frac{M_Зm}{R_З})}{m}} = \sqrt{\frac{2GM_З}{R_З}}$

Случай 2: Запуск из шахты.

При запуске из шахты ракета находится на расстоянии $r_2 = R_З - h$ от центра, то есть внутри Земли. Потенциальная энергия внутри однородного шара (упрощенная модель Земли) рассчитывается иначе. Она зависит не только от расстояния до центра, но и от радиуса самого шара. Формула для потенциальной энергии в точке на расстоянии $r_2$ от центра: $U_2 = -\frac{GM_Зm}{2R_З^3}(3R_З^2 - r_2^2)$

Эта формула показывает, что чем глубже мы находимся (чем меньше $r_2$), тем меньше (более отрицательна) потенциальная энергия. То есть объект находится в более "глубокой гравитационной яме", и для выхода из нее требуется больше энергии.

Вторая космическая скорость из шахты будет равна: $v_{2, \text{шахта}} = \sqrt{\frac{-2U_2}{m}} = \sqrt{\frac{-2(-\frac{GM_Зm}{2R_З^3}(3R_З^2 - r_2^2))}{m}} = \sqrt{\frac{GM_З}{R_З^3}(3R_З^2 - r_2^2)}$

Теперь сравним $v_{2, \text{шахта}}$ и $v_{2, \text{пов}}$. Поскольку запуск происходит из шахты, то $r_2 < R_З$. Следовательно, $r_2^2 < R_З^2$.

Рассмотрим подкоренное выражение для скорости из шахты: $\frac{GM_З}{R_З^3}(3R_З^2 - r_2^2) > \frac{GM_З}{R_З^3}(3R_З^2 - R_З^2) = \frac{GM_З}{R_З^3}(2R_З^2) = \frac{2GM_З}{R_З}$

Таким образом, мы получили, что подкоренное выражение для $v_{2, \text{шахта}}$ больше, чем подкоренное выражение для $v_{2, \text{пов}}$.

Это означает, что $v_{2, \text{шахта}} > v_{2, \text{пов}}$.

Ответ: Да, значение второй космической скорости при запуске из глубокой шахты изменится — оно станет больше, чем при запуске с поверхности. Это связано с тем, что в шахте тело находится в точке с более низкой (более отрицательной) гравитационной потенциальной энергией, и для ее преодоления требуется сообщить телу большую кинетическую энергию, а следовательно, и большую начальную скорость.