Номер 1, страница 154 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Образцы заданий ЕГЭ. Параграф 47. Примеры решения задач по теме «Закон сохранения механической энергии». Глава 4. Законы сохранения в механике - номер 1, страница 154.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

$m = 100$ г

$l = 1$ м

$\alpha_1 = 90^\circ$

$\alpha_2 = 60^\circ$

$m = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$

Найти:

$a_ц$

Решение

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. В системе действуют сила тяжести (консервативная сила) и сила натяжения нити. Сила натяжения нити в любой момент времени перпендикулярна вектору скорости груза, поэтому ее работа равна нулю. Следовательно, полная механическая энергия системы "груз-Земля" сохраняется.

Полная механическая энергия $E$ равна сумме кинетической энергии $E_к = \frac{mv^2}{2}$ и потенциальной энергии $E_п = mgh$.

$E = E_к + E_п = \frac{mv^2}{2} + mgh$

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии самое нижнее положение груза (точка, где нить вертикальна). Высоту груза $h$ над этим уровнем можно выразить через длину нити $l$ и угол отклонения от вертикали $\alpha$: $h = l - l \cos\alpha = l(1 - \cos\alpha)$.

Рассмотрим начальное состояние (положение 1):

Угол отклонения $\alpha_1 = 90^\circ$. Груз отпускают без начальной скорости, поэтому $v_1 = 0$.

Начальная высота: $h_1 = l(1 - \cos 90^\circ) = l(1 - 0) = l$.

Полная механическая энергия в начальном положении: $E_1 = \frac{mv_1^2}{2} + mgh_1 = 0 + mgl = mgl$.

Рассмотрим конечное состояние (положение 2) в момент, когда нить образует с вертикалью угол $\alpha_2 = 60^\circ$ :

Скорость груза в этот момент обозначим как $v$.

Высота в этом положении: $h_2 = l(1 - \cos 60^\circ) = l(1 - 0.5) = 0.5l$.

Полная механическая энергия в этом положении: $E_2 = \frac{mv^2}{2} + mgh_2 = \frac{mv^2}{2} + mg(0.5l)$.

По закону сохранения энергии $E_1 = E_2$:

$mgl = \frac{mv^2}{2} + 0.5mgl$

Выразим из этого уравнения квадрат скорости $v^2$:

$mgl - 0.5mgl = \frac{mv^2}{2}$

$0.5mgl = \frac{mv^2}{2}$

Умножив обе части на $2$ и разделив на $m$ (масса сокращается), получим:

$v^2 = gl$

Центростремительное (нормальное) ускорение тела, движущегося по окружности, определяется по формуле:

$a_ц = \frac{v^2}{R}$, где $R$ — радиус окружности. В данном случае радиус равен длине нити, $R=l$.

$a_ц = \frac{v^2}{l}$

Подставим найденное выражение для $v^2$:

$a_ц = \frac{gl}{l} = g$

Таким образом, центростремительное ускорение груза в указанный момент равно ускорению свободного падения $g$. Примем $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$.

Ответ: $a_ц \approx 9.8 \text{ м/с}^2$.