Номер 4, страница 151 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Вопросы к параграфу. Параграф 46. Работа силы тяготения. Потенциальная энергия в поле тяготения. Глава 4. Законы сохранения в механике - номер 4, страница 151.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Решение

Потенциальная энергия тела в поле тяготения является характеристикой взаимодействия этого тела с гравитационным полем (например, полем Земли). Абсолютное значение потенциальной энергии не имеет физического смысла, важна лишь её разность между двумя точками, которая определяет работу гравитационной силы. Поэтому нулевой уровень отсчёта потенциальной энергии можно выбирать произвольно.

В общем случае, при рассмотрении гравитационного взаимодействия на больших расстояниях (например, в астрономии), за нулевой уровень потенциальной энергии принимают энергию тела, бесконечно удалённого от источника поля. В этом случае выражение для потенциальной энергии тела массы $m$ на расстоянии $r$ от центра Земли (массой $M$) имеет вид:

$E_p(r) = -G \frac{Mm}{r}$

где $G$ — гравитационная постоянная. Знак "минус" указывает на то, что для удаления тела на бесконечность (где энергия равна нулю) необходимо совершить положительную работу против сил притяжения.

Теперь изменим условие и примем за нулевой уровень отсчёта поверхность Земли. Пусть радиус Земли равен $R$. Мы хотим, чтобы новая потенциальная энергия, обозначим её $E'_p$, была равна нулю при $r = R$.

Используя стандартную формулу, найдём потенциальную энергию на поверхности Земли ($r=R$):

$E_p(R) = -G \frac{Mm}{R}$

Чтобы на поверхности Земли новая потенциальная энергия $E'_p(R)$ была равна нулю, необходимо к исходной формуле $E_p(r)$ прибавить константу $C$, равную $-E_p(R)$:

$C = - \left(-G \frac{Mm}{R}\right) = G \frac{Mm}{R}$

Таким образом, новое выражение для потенциальной энергии тела на расстоянии $r$ от центра Земли будет:

$E'_p(r) = E_p(r) + C = -G \frac{Mm}{r} + G \frac{Mm}{R}$

Это выражение можно переписать в более удобном виде, вынеся общий множитель за скобки:

$E'_p(r) = GMm \left(\frac{1}{R} - \frac{1}{r}\right)$

Это и есть искомое выражение.

Стоит отметить, что для высот $h$, малых по сравнению с радиусом Земли ($h \ll R$), это выражение переходит в хорошо известную формулу $E_p = mgh$. Действительно, пусть $r = R+h$:

$E'_p(h) = GMm \left(\frac{1}{R} - \frac{1}{R+h}\right) = GMm \frac{R+h-R}{R(R+h)} = GMm \frac{h}{R(R+h)}$

При $h \ll R$ можно считать, что $R+h \approx R$. Тогда:

$E'_p(h) \approx \frac{GMmh}{R^2}$

Учитывая, что ускорение свободного падения у поверхности Земли $g = \frac{GM}{R^2}$, получаем:

$E'_p(h) \approx mgh$

Ответ: Если за нулевой уровень отсчёта потенциальной энергии взять поверхность Земли, то стандартное выражение $E_p(r) = -G \frac{Mm}{r}$ изменится на $E'_p(r) = GMm \left(\frac{1}{R} - \frac{1}{r}\right)$, где $M$ — масса Земли, $m$ — масса тела, $R$ — радиус Земли, а $r$ — расстояние от центра Земли до тела.