Номер 3, страница 154 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения. Параграф 47. Примеры решения задач по теме «Закон сохранения механической энергии». Глава 4. Законы сохранения в механике - номер 3, страница 154.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

Масса вагона, $m = 20\;000$ кг

Сжатие каждой пружины, $x = 10$ см

Сила для сжатия пружины на $x_0 = 1$ см, $F_0 = 10\;000$ Н

Количество буферов (пружин), $n = 2$

Перевод в систему СИ:

$x = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$

$x_0 = 1 \text{ см} = 0,01 \text{ м}$

Найти:

Скорость вагона, $v$ - ?

Решение:

При ударе вагона о преграду его кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию сжатых пружин буферов. По закону сохранения энергии, начальная кинетическая энергия вагона равна суммарной потенциальной энергии двух сжатых пружин (пренебрегая потерями энергии на трение и деформацию).

Кинетическая энергия вагона вычисляется по формуле: $E_k = \frac{mv^2}{2}$

Потенциальная энергия одной сжатой пружины: $E_p = \frac{kx^2}{2}$ где $k$ – жесткость пружины, $x$ – величина сжатия пружины.

Так как у вагона два буфера, суммарная потенциальная энергия двух пружин будет равна: $E_{p_{общ}} = 2 \cdot E_p = 2 \cdot \frac{kx^2}{2} = kx^2$

Сначала найдем коэффициент жесткости $k$ одной пружины, используя закон Гука: $F = kx$. Из условия известно, что для сжатия пружины на $x_0 = 1$ см = $0,01$ м требуется сила $F_0 = 10\;000$ Н. $k = \frac{F_0}{x_0} = \frac{10\;000 \text{ Н}}{0,01 \text{ м}} = 1\;000\;000 \text{ Н/м} = 10^6 \text{ Н/м}$

Теперь запишем закон сохранения энергии для данного случая: $E_k = E_{p_{общ}}$ $\frac{mv^2}{2} = kx^2$

Выразим из этого уравнения искомую скорость $v$: $v^2 = \frac{2kx^2}{m}$ $v = \sqrt{\frac{2kx^2}{m}} = x \sqrt{\frac{2k}{m}}$

Подставим числовые значения в систему СИ и произведем вычисления: $v = 0,1 \text{ м} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 1\;000\;000 \text{ Н/м}}{20\;000 \text{ кг}}} = 0,1 \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 10^6}{2 \cdot 10^4}} = 0,1 \cdot \sqrt{100} = 0,1 \cdot 10 = 1 \text{ м/с}$

Ответ: скорость вагона составляла 1 м/с.