Номер 3, страница 179 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Обсудить в классе. Параграф 54. Движение жидкости. Уравнение Бернулли. Глава 7. Элементы гидростатики и гидродинамики - номер 3, страница 179.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Для того чтобы шарик находился в равновесии в потоке воздуха, движущемся вертикально вверх, необходимо, чтобы сумма всех сил, действующих на него, была равна нулю. Рассмотрим, какие силы действуют на шарик.

1. Сила тяжести ($F_т$): направлена вертикально вниз. Она рассчитывается по формуле $F_т = mg$, где $m$ — масса шарика, а $g$ — ускорение свободного падения.
2. Сила Архимеда ($F_А$): выталкивающая сила, действующая со стороны воздуха. Она направлена вертикально вверх и равна весу вытесненного шариком воздуха: $F_А = \rho_{возд} V g$, где $\rho_{возд}$ — плотность воздуха, а $V$ — объем шарика. Для твердых тел в воздухе эта сила обычно очень мала по сравнению с силой тяжести и ею можно пренебречь, но для полноты картины мы ее учтем.
3. Сила аэродинамического сопротивления ($F_с$): сила, с которой поток воздуха действует на шарик. Она направлена вверх, против относительного движения шарика и воздуха. Величина этой силы зависит от скорости потока воздуха $v$, формы и размеров шарика, а также от плотности воздуха. Она выражается формулой: $F_с = \frac{1}{2} C_d \rho_{возд} A v^2$, где $C_d$ — коэффициент лобового сопротивления (зависит от формы тела), $A$ — площадь поперечного сечения шарика, $v$ — скорость потока воздуха.

Равновесие наступает, когда сумма сил, направленных вверх, уравновешивает силу, направленную вниз.

Условие равновесия:

$F_с + F_А = F_т$

Сила сопротивления воздуха $F_с$ растет с увеличением скорости потока $v$. Следовательно, можно подобрать такую скорость воздуха, при которой это равенство будет выполняться. В этот момент шарик "зависнет" в потоке воздуха, то есть будет находиться в состоянии равновесия.

Ответ: Шарик может находиться в равновесии, потому что сила тяжести, действующая на него вниз, может быть уравновешена суммой двух сил, действующих вверх: силой аэродинамического сопротивления со стороны потока воздуха и выталкивающей силой Архимеда. Ключевую роль играет сила сопротивления, которая увеличивается со скоростью потока до тех пор, пока не станет достаточной для компенсации силы тяжести.

При каких скоростях это можно наблюдать?

Скорость, необходимая для удержания шарика в равновесии, зависит от его характеристик (массы, размера, формы) и плотности воздуха. Эта скорость равна так называемой скорости витания (или конечной скорости падения) шарика в неподвижном воздухе. Найдем ее из условия равновесия:

$F_с = F_т - F_А$

Подставим выражения для сил:

$\frac{1}{2} C_d \rho_{возд} A v^2 = mg - \rho_{возд} V g$

Выразим скорость $v$:

$v = \sqrt{\frac{2(mg - \rho_{возд} V g)}{C_d \rho_{возд} A}}$

Поскольку для плотного шарика сила Архимеда $F_А$ значительно меньше силы тяжести $F_т$, можно использовать упрощенную формулу, приравняв силу сопротивления силе тяжести:

$F_с \approx F_т$

$\frac{1}{2} C_d \rho_{возд} A v^2 = mg$

$v = \sqrt{\frac{2mg}{C_d \rho_{возд} A}}$

Эта формула показывает, что для более тяжелых и компактных шариков (большая масса $m$ при малой площади $A$) потребуется более высокая скорость потока воздуха.

Рассчитаем примерную скорость для шарика от настольного тенниса.

Дано:

Масса шарика, $m = 2,7$ г

Диаметр шарика, $d = 40$ мм

Плотность воздуха (при 20°C), $\rho_{возд} \approx 1,2$ кг/м³

Коэффициент лобового сопротивления для сферы, $C_d \approx 0,5$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с²

$m = 2,7 \cdot 10^{-3}$ кг

$d = 0,04$ м

Найти:

$v$ - ?

Решение:

Сначала найдем площадь поперечного сечения шарика:

$A = \pi R^2 = \pi (\frac{d}{2})^2 = \pi \cdot (\frac{0,04 \text{ м}}{2})^2 = \pi \cdot (0,02 \text{ м})^2 \approx 1,257 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2$

Теперь рассчитаем необходимую скорость по упрощенной формуле:

$v = \sqrt{\frac{2mg}{C_d \rho_{возд} A}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 2,7 \cdot 10^{-3} \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с²}}{0,5 \cdot 1,2 \text{ кг/м³} \cdot 1,257 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2}} \approx \sqrt{\frac{0,05292}{0,0007542}} \approx \sqrt{70,17} \approx 8,4 \text{ м/с}$

$8,4 \text{ м/с} = 8,4 \cdot 3,6 \text{ км/ч} \approx 30 \text{ км/ч}$

Ответ: Это явление можно наблюдать при скоростях, равных скорости витания объекта. Эта скорость не является постоянной величиной, а зависит от массы, размера и формы объекта. Для легких и объемных предметов, таких как шарик для пинг-понга, требуются относительно небольшие скорости (около 8-9 м/с), которые можно создать, например, с помощью бытового фена. Для более тяжелых и плотных объектов потребуются значительно более высокие скорости.