Номер 1, страница 184 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения. Параграф 55. Примеры решения задач по теме «Гидромеханика». Глава 7. Элементы гидростатики и гидродинамики - номер 1, страница 184.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

$m_{рт} = m_{в}$ (масса ртути равна массе воды)

$H = 1 \text{ м}$ (общая высота столба жидкости)

$\rho_{рт} = 13.6 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3$ (плотность ртути)

Найти:

$P_{дно}$ — давление на дно сосуда.

Решение:

Поскольку плотность ртути ($ \rho_{рт} $) больше плотности воды ($ \rho_{в} $), ртуть будет находиться внизу, а вода — сверху. Давление на дно сосуда равно сумме гидростатических давлений столбов воды и ртути. Давление на дно сосуда $P_{дно}$ определяется по формуле:

$ P_{дно} = \rho_{в} g h_{в} + \rho_{рт} g h_{рт} $

где $ \rho_{в} $ и $ \rho_{рт} $ — плотности воды и ртути, $ h_{в} $ и $ h_{рт} $ — высоты столбов воды и ртути, $ g $ — ускорение свободного падения ($ g \approx 9.8 \text{ м/с}^2 $). Плотность воды является справочной величиной: $ \rho_{в} = 1000 \text{ кг/м}^3 = 1 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3 $.

Общая высота столба жидкости $ H $ равна сумме высот столбов воды и ртути:

$ H = h_{в} + h_{рт} $ (1)

По условию задачи, массы воды и ртути равны ($ m_{в} = m_{рт} $). Массу можно выразить через плотность $ \rho $ и объем $ V $: $ m = \rho V $. Для цилиндрического сосуда с площадью основания $ S $ объем равен $ V = S h $.

Тогда равенство масс можно записать как:

$ \rho_{в} V_{в} = \rho_{рт} V_{рт} \implies \rho_{в} S h_{в} = \rho_{рт} S h_{рт} $

Сократив площадь $ S $, получим соотношение между высотами:

$ \rho_{в} h_{в} = \rho_{рт} h_{рт} $ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $ h_{в} $ и $ h_{рт} $:

$ \begin{cases} h_{в} + h_{рт} = H \\ \rho_{в} h_{в} = \rho_{рт} h_{рт} \end{cases} $

Давление на дно можно представить как силу тяжести обеих жидкостей, деленную на площадь дна:

$ P_{дно} = \frac{F_{общ}}{S} = \frac{(m_{в} + m_{рт})g}{S} $

Так как $ m_{в} = m_{рт} $, то $ P_{дно} = \frac{2 m_{в} g}{S} $. Заменим массу воды $ m_{в} = \rho_{в} S h_{в} $:

$ P_{дно} = \frac{2 (\rho_{в} S h_{в}) g}{S} = 2 g \rho_{в} h_{в} $

Теперь найдем высоту столба воды $ h_{в} $ из системы уравнений. Из уравнения (2) выразим $ h_{рт} = \frac{\rho_{в}}{\rho_{рт}} h_{в} $ и подставим в уравнение (1):

$ h_{в} + \frac{\rho_{в}}{\rho_{рт}} h_{в} = H $

$ h_{в} \left(1 + \frac{\rho_{в}}{\rho_{рт}}\right) = H \implies h_{в} \left(\frac{\rho_{рт} + \rho_{в}}{\rho_{рт}}\right) = H $

$ h_{в} = \frac{H \rho_{рт}}{\rho_{в} + \rho_{рт}} $

Подставим это выражение в формулу для давления:

$ P_{дно} = 2 g \rho_{в} \left(\frac{H \rho_{рт}}{\rho_{в} + \rho_{рт}}\right) = \frac{2 g H \rho_{в} \rho_{рт}}{\rho_{в} + \rho_{рт}} $

Теперь подставим числовые значения:

$ P_{дно} = \frac{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 1 \text{ м} \cdot (1 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3) \cdot (13.6 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3)}{1 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3 + 13.6 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3} $

$ P_{дно} = \frac{19.6 \cdot 13.6 \cdot 10^6}{14.6 \cdot 10^3} \text{ Па} = \frac{266.56}{14.6} \cdot 10^3 \text{ Па} \approx 18.2575 \cdot 10^3 \text{ Па} $

Округляя результат до трех значащих цифр, получаем $18.3 \text{ кПа}$.

Ответ: давление на дно сосуда составляет приблизительно $18.3 \text{ кПа}$.