Номер 5, страница 184 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения. Параграф 55. Примеры решения задач по теме «Гидромеханика». Глава 7. Элементы гидростатики и гидродинамики - номер 5, страница 184.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

Вес бруска в воздухе: $P_{возд} = 33.52 \text{ Н}$

Вес бруска в воде: $P_{воды} = 29.6 \text{ Н}$

Плотность железа: $\rho_{ж} = 7.8 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3$

Плотность никеля: $\rho_{н} = 8.8 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3$

Плотность воды (справочное значение): $\rho_{в} = 10^3 \text{ кг/м}^3$

Найти:

Процентное содержание по массе железа ($w_ж$) и никеля ($w_н$) в сплаве.

Решение:

1. Вес бруска в воздухе $P_{возд}$ равен силе тяжести, действующей на него. Вес бруска, погруженного в воду, $P_{воды}$ равен силе тяжести за вычетом выталкивающей силы Архимеда $F_A$.

$P_{воды} = P_{возд} - F_A$

2. Из этой формулы найдем выталкивающую силу:

$F_A = P_{возд} - P_{воды} = 33.52 \text{ Н} - 29.6 \text{ Н} = 3.92 \text{ Н}$

3. Выталкивающая сила также определяется по формуле $F_A = \rho_в g V$, где $V$ — объем бруска. Масса бруска равна $M = \frac{P_{возд}}{g}$. Используя эти соотношения, найдем среднюю плотность сплава $\rho_{сп}$.

$\rho_{сп} = \frac{M}{V} = \frac{P_{возд}/g}{F_A/(\rho_в g)} = \frac{P_{возд}}{F_A} \rho_в$

Подставим числовые значения:

$\rho_{сп} = \frac{33.52}{3.92} \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \approx 8551 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

4. Пусть $m_ж$ и $m_н$ — массы железа и никеля в сплаве, а $M = m_ж + m_н$ — общая масса. Обозначим массовую долю железа как $x$, тогда $m_ж = xM$. Соответственно, массовая доля никеля будет $(1-x)$, а его масса $m_н = (1-x)M$.

Общий объем сплава $V$ равен сумме объемов его компонентов:

$V = V_ж + V_н = \frac{m_ж}{\rho_ж} + \frac{m_н}{\rho_н} = \frac{xM}{\rho_ж} + \frac{(1-x)M}{\rho_н}$

5. Свяжем среднюю плотность с плотностями компонентов. Для этого разделим обе части уравнения для объема на общую массу $M$:

$\frac{V}{M} = \frac{x}{\rho_ж} + \frac{1-x}{\rho_н}$

Так как $\rho_{сп} = \frac{M}{V}$, то $\frac{V}{M} = \frac{1}{\rho_{сп}}$. Получаем уравнение:

$\frac{1}{\rho_{сп}} = \frac{x}{\rho_ж} + \frac{1-x}{\rho_н}$

6. Выразим из этого уравнения $x$ (массовую долю железа):

$\frac{1}{\rho_{сп}} - \frac{1}{\rho_н} = x \left(\frac{1}{\rho_ж} - \frac{1}{\rho_н}\right)$

$\frac{\rho_н - \rho_{сп}}{\rho_{сп}\rho_н} = x \left(\frac{\rho_н - \rho_ж}{\rho_ж \rho_н}\right)$

$x = \frac{\rho_ж (\rho_н - \rho_{сп})}{\rho_{сп} (\rho_н - \rho_ж)}$

7. Подставим числовые значения. Для большей точности вычислений используем значение $\rho_{сп}$ в виде дроби:

$x = \frac{7.8 \cdot 10^3 \cdot \left(8.8 \cdot 10^3 - \frac{33.52}{3.92} \cdot 10^3\right)}{\frac{33.52}{3.92} \cdot 10^3 \cdot (8.8 \cdot 10^3 - 7.8 \cdot 10^3)} = \frac{7.8 \left(8.8 - \frac{33.52}{3.92}\right)}{\frac{33.52}{3.92} \cdot (8.8 - 7.8)}$

$x = \frac{7.8 \cdot (8.8 - 8.55102...)}{8.55102... \cdot 1} = \frac{7.8 \cdot 0.24897...}{8.55102...} \approx 0.2271$

8. Теперь найдем процентное содержание компонентов. Массовая доля железа $w_ж = x \cdot 100\% \approx 22.7\%$.

Массовая доля никеля $w_н = (1-x) \cdot 100\% \approx (1 - 0.2271) \cdot 100\% \approx 77.3\%$.

Ответ: Процентное содержание по массе: железо ≈ 22.7%, никель ≈ 77.3%.