Номер 6, страница 184 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения. Параграф 55. Примеры решения задач по теме «Гидромеханика». Глава 7. Элементы гидростатики и гидродинамики - номер 6, страница 184.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано

$\rho_2 = 1.2 \rho_1$ (плотность увеличилась на 20%)

$P_1 = P_2 = P$ (мощность постоянна)

Найти:

Процентное изменение скорости: $\frac{v_2 - v_1}{v_1} \cdot 100\%$

Решение

Мощность насоса $P$ — это работа $W$, совершаемая им за единицу времени $t$. Будем считать, что эта работа идет на сообщение жидкости кинетической энергии. $P = \frac{W}{t}$

Кинетическая энергия, сообщенная массе жидкости $m$, которая приобрела скорость $v$, равна: $W = \frac{1}{2} m v^2$

Масса жидкости $m$, которая проходит через насос за время $t$, может быть выражена через плотность $\rho$, площадь поперечного сечения трубы насоса $A$ и скорость потока $v$: $m = \rho \cdot V = \rho \cdot (A \cdot v \cdot t)$

Подставим выражение для массы в формулу для работы, а затем в формулу для мощности: $P = \frac{\frac{1}{2} (\rho A v t) v^2}{t} = \frac{1}{2} \rho A v^3$

По условию задачи мощность насоса $P$ и площадь сечения $A$ остаются постоянными. Запишем это соотношение для начального состояния (индекс 1) и конечного (индекс 2):

$P_1 = \frac{1}{2} \rho_1 A v_1^3$

$P_2 = \frac{1}{2} \rho_2 A v_2^3$

Так как $P_1 = P_2$, мы можем приравнять правые части: $\frac{1}{2} \rho_1 A v_1^3 = \frac{1}{2} \rho_2 A v_2^3$

Сократив общие множители $\frac{1}{2}$ и $A$, получаем: $\rho_1 v_1^3 = \rho_2 v_2^3$

Плотность жидкости увеличили на 20%, что означает: $\rho_2 = \rho_1 + 0.2\rho_1 = 1.2\rho_1$

Подставим это в наше уравнение: $\rho_1 v_1^3 = (1.2\rho_1) v_2^3$

Сократив $\rho_1$, получим: $v_1^3 = 1.2 v_2^3$

Теперь найдем отношение новой скорости $v_2$ к старой $v_1$: $\frac{v_2^3}{v_1^3} = \frac{1}{1.2}$

$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt[3]{\frac{1}{1.2}} = \sqrt[3]{\frac{10}{12}} = \sqrt[3]{\frac{5}{6}}$

Вычислим приближенное значение этого отношения: $\frac{v_2}{v_1} \approx \sqrt[3]{0.8333...} \approx 0.941$

Процентное изменение скорости вычисляется по формуле: $\text{Изменение, %} = \frac{v_2 - v_1}{v_1} \cdot 100\% = (\frac{v_2}{v_1} - 1) \cdot 100\%$

Подставим наше значение: $\text{Изменение, %} \approx (0.941 - 1) \cdot 100\% = -0.059 \cdot 100\% = -5.9\%$

Знак "минус" означает, что скорость уменьшилась.

Ответ: скорость жидкости в насосе уменьшилась примерно на 5.9%.