Номер 3, страница 184 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения. Параграф 55. Примеры решения задач по теме «Гидромеханика». Глава 7. Элементы гидростатики и гидродинамики - номер 3, страница 184.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

$n = \frac{x_1}{x_2} = 1.5$ (отношение растяжений пружины в воздухе и в воде)

$\rho_в = 1000 \, \text{кг/м}^3$ (плотность воды, табличное значение)

Найти:

$\rho_ш$ - ?

Решение:

Рассмотрим два случая: шарик в воздухе и шарик в воде. В обоих случаях шарик находится в равновесии.

1. Шарик в воздухе. На шарик действуют сила тяжести $F_T$, направленная вниз, и сила упругости пружины $F_{упр1}$, направленная вверх. По первому закону Ньютона, в состоянии равновесия эти силы уравновешивают друг друга:

$F_{упр1} = F_T$

Сила тяжести определяется через массу $m$ и объем $V$ шарика: $F_T = m \cdot g = \rho_ш \cdot V \cdot g$, где $\rho_ш$ – искомая плотность материала шарика, а $g$ – ускорение свободного падения.

Сила упругости по закону Гука: $F_{упр1} = k \cdot x_1$, где $k$ – жесткость пружины, $x_1$ – ее растяжение в воздухе.

Таким образом, для первого случая имеем уравнение:

$k \cdot x_1 = \rho_ш \cdot V \cdot g$ (1)

2. Шарик в воде. Когда шарик погружают в воду, на него, помимо силы тяжести и силы упругости, начинает действовать выталкивающая сила Архимеда $F_A$, направленная вверх. Растяжение пружины при этом становится равным $x_2$. Условие равновесия принимает вид:

$F_{упр2} + F_A = F_T$

Здесь $F_{упр2} = k \cdot x_2$. Сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости: $F_A = \rho_в \cdot g \cdot V$, где $\rho_в$ – плотность воды.

Подставим выражения для сил в уравнение равновесия:

$k \cdot x_2 + \rho_в \cdot g \cdot V = \rho_ш \cdot V \cdot g$ (2)

По условию задачи, растяжение пружины уменьшается в 1,5 раза: $x_1 = 1.5 \cdot x_2$.

Выразим $k \cdot x_1$ и $k \cdot x_2$ из уравнений (1) и (2):

$k \cdot x_1 = \rho_ш \cdot V \cdot g$

$k \cdot x_2 = \rho_ш \cdot V \cdot g - \rho_в \cdot g \cdot V = (\rho_ш - \rho_в) \cdot V \cdot g$

Теперь разделим первое выражение на второе:

$\frac{k \cdot x_1}{k \cdot x_2} = \frac{\rho_ш \cdot V \cdot g}{(\rho_ш - \rho_в) \cdot V \cdot g}$

Сократив $k$, $V$ и $g$, получим:

$\frac{x_1}{x_2} = \frac{\rho_ш}{\rho_ш - \rho_в}$

Подставим известное значение отношения растяжений $\frac{x_1}{x_2} = 1.5$:

$1.5 = \frac{\rho_ш}{\rho_ш - \rho_в}$

Решим это уравнение относительно $\rho_ш$:

$1.5 \cdot (\rho_ш - \rho_в) = \rho_ш$

$1.5 \cdot \rho_ш - 1.5 \cdot \rho_в = \rho_ш$

$1.5 \cdot \rho_ш - \rho_ш = 1.5 \cdot \rho_в$

$0.5 \cdot \rho_ш = 1.5 \cdot \rho_в$

$\rho_ш = \frac{1.5}{0.5} \cdot \rho_в = 3 \cdot \rho_в$

Подставим значение плотности воды $\rho_в = 1000 \, \text{кг/м}^3$:

$\rho_ш = 3 \cdot 1000 \, \text{кг/м}^3 = 3000 \, \text{кг/м}^3$

Ответ: плотность материала шарика равна $3000 \, \text{кг/м}^3$.