Номер 3, страница 181 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Вопросы к параграфу. Параграф 54. Движение жидкости. Уравнение Бернулли. Глава 7. Элементы гидростатики и гидродинамики - номер 3, страница 181.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Совпадение формулы Торричелли и формулы для скорости свободно падающего тела не является случайностью. Оба этих выражения являются прямым следствием фундаментального закона физики — закона сохранения энергии. Рассмотрим оба случая подробнее.

1. Скорость тела, падающего с высоты h

Для тела массой $m$, которое начинает падать с высоты $h$ без начальной скорости, в начальной точке его полная механическая энергия состоит только из потенциальной энергии:

$E_{полная} = E_p = mgh$

В момент, когда тело достигает нулевой высоты (прямо перед соприкосновением с поверхностью), вся его потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию движения:

$E_{полная} = E_k = \frac{1}{2}mv^2$

Согласно закону сохранения энергии, начальная энергия равна конечной:

$mgh = \frac{1}{2}mv^2$

Сократив массу $m$ и выразив скорость $v$, мы получаем искомую формулу:

$v^2 = 2gh \implies v = \sqrt{2gh}$

2. Формула Торричелли

Формула Торричелли описывает скорость $v$ истечения идеальной жидкости из отверстия в сосуде, которое находится на глубине $h$ от свободной поверхности. Эта формула выводится из уравнения Бернулли, которое является формой закона сохранения энергии для движущейся жидкости:

$P + \rho gh + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{const}$

где $P$ — давление в жидкости, $\rho$ — плотность жидкости, $h$ — высота, $v$ — скорость течения.

Применим это уравнение к двум точкам: точка 1 на свободной поверхности жидкости в большом открытом сосуде и точка 2 в отверстии, из которого жидкость вытекает.

• Для точки 1 (на поверхности): высота $h_1 = h$, давление $P_1$ равно атмосферному $P_{атм}$, а скорость понижения уровня $v_1$ можно считать равной нулю ($v_1 \approx 0$), если площадь поверхности сосуда велика по сравнению с площадью отверстия.
• Для точки 2 (в отверстии): высота $h_2 = 0$ (примем ее за нулевой уровень), давление $P_2$ также равно атмосферному $P_{атм}$ (так как струя вытекает в атмосферу), а скорость $v_2 = v$ — это искомая скорость истечения.

Запишем уравнение Бернулли для этих двух точек:

$P_1 + \rho gh_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \rho gh_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$

Подставим наши значения:

$P_{атм} + \rho gh + \frac{1}{2}\rho (0)^2 = P_{атм} + \rho g(0) + \frac{1}{2}\rho v^2$

Упрощая, получаем:

$P_{атм} + \rho gh = P_{атм} + \frac{1}{2}\rho v^2$

Сократив атмосферное давление $P_{атм}$ и плотность $\rho$, мы приходим к точно такому же соотношению, как и для падающего тела:

$\rho gh = \frac{1}{2}\rho v^2 \implies gh = \frac{1}{2}v^2 \implies v = \sqrt{2gh}$

Таким образом, совпадение формул объясняется тем, что в обоих процессах происходит одинаковое преобразование энергии: потенциальная энергия, которой обладает тело или элемент жидкости на высоте $h$, полностью переходит в кинетическую энергию движения при достижении нулевого уровня.

Ответ: Формула Торричелли совпадает с формулой для скорости свободно падающего тела, потому что обе они являются следствием закона сохранения энергии. В обоих физических явлениях начальная потенциальная энергия тела (или элементарного объема жидкости), находящегося на высоте $h$, полностью переходит в кинетическую энергию при достижении нулевого уровня высоты.