Номер 4, страница 275 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения. Параграф 83. Примеры решения задач по теме «Уравнение теплового баланса». Глава 13. Основы термодинамики - номер 4, страница 275.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

Масса свинцовой пули $m_1 = 0,01$ кг

Начальная скорость пули $v_1 = 500$ м/с

Масса стального кубика $m_2 = 90$ г

Начальная скорость кубика $v_2 = 0$ м/с

Начальная температура пули $t_1 = 30$ °C

Начальная температура кубика $t_2 = 20$ °C

Удельная теплоёмкость свинца $c_1 = 126$ Дж/(кг·К)

Удельная теплоёмкость стали $c_2 = 460$ Дж/(кг·К)

Масса кубика в СИ:

$m_2 = 90 \text{ г} = 0,09 \text{ кг}$

Найти:

Конечная температура тел $t_f$

Решение:

Происходит абсолютно неупругий удар, при котором пуля и кубик начинают двигаться как единое целое. Для такой системы выполняется закон сохранения импульса. Запишем его для проекции на горизонтальную ось:

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) u$

Так как кубик первоначально покоился ($v_2 = 0$), уравнение упрощается:

$m_1 v_1 = (m_1 + m_2) u$

Отсюда найдем скорость тел после удара $u$:

$u = \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2} = \frac{0,01 \text{ кг} \cdot 500 \text{ м/с}}{0,01 \text{ кг} + 0,09 \text{ кг}} = \frac{5 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{0,1 \text{ кг}} = 50 \text{ м/с}$

При неупругом ударе часть механической энергии переходит во внутреннюю энергию (теплоту). Эта теплота идет на нагревание пули и кубика. По закону сохранения энергии, изменение кинетической энергии системы равно количеству выделившейся теплоты $Q$.

Начальная кинетическая энергия системы:

$E_{k1} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{0,01 \text{ кг} \cdot (500 \text{ м/с})^2}{2} + 0 = \frac{0,01 \cdot 250000}{2} \text{ Дж} = 1250 \text{ Дж}$

Конечная кинетическая энергия системы:

$E_{k2} = \frac{(m_1 + m_2) u^2}{2} = \frac{(0,01 \text{ кг} + 0,09 \text{ кг}) \cdot (50 \text{ м/с})^2}{2} = \frac{0,1 \text{ кг} \cdot 2500 \text{ м}^2/\text{с}^2}{2} = 125 \text{ Дж}$

Количество теплоты, выделившееся при ударе:

$Q = E_{k1} - E_{k2} = 1250 \text{ Дж} - 125 \text{ Дж} = 1125 \text{ Дж}$

Эта теплота $Q$ расходуется на нагревание пули и кубика до некоторой конечной температуры $t_f$. Запишем уравнение теплового баланса (поскольку потерями тепла можно пренебречь):

$Q = Q_1 + Q_2$

где $Q_1$ – теплота, полученная пулей, а $Q_2$ – теплота, полученная кубиком.

$Q_1 = c_1 m_1 (t_f - t_1)$

$Q_2 = c_2 m_2 (t_f - t_2)$

Подставим выражения в уравнение теплового баланса:

$Q = c_1 m_1 (t_f - t_1) + c_2 m_2 (t_f - t_2)$

Подставим известные значения и решим уравнение относительно $t_f$:

$1125 = 126 \cdot 0,01 \cdot (t_f - 30) + 460 \cdot 0,09 \cdot (t_f - 20)$

$1125 = 1,26(t_f - 30) + 41,4(t_f - 20)$

$1125 = 1,26 t_f - 37,8 + 41,4 t_f - 828$

$1125 = (1,26 + 41,4)t_f - (37,8 + 828)$

$1125 = 42,66 t_f - 865,8$

$42,66 t_f = 1125 + 865,8$

$42,66 t_f = 1990,8$

$t_f = \frac{1990,8}{42,66} \approx 46,67 \text{ °C}$

Ответ: температура обоих тел после удара будет равна примерно $46,7$ °C.