Номер 9, страница 275 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения. Параграф 83. Примеры решения задач по теме «Уравнение теплового баланса». Глава 13. Основы термодинамики - номер 9, страница 275.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

$V_1 = 1 \text{ м}^3$

$t_1 = 0 \text{°C}$

$m_п = 1 \text{ т}$

$S = 0,5 \text{ м}^2$

$p_{атм} = 97,3 \text{ кПа}$

$t_2 = 300 \text{°C}$

Газ - водород (H₂)

$T_1 = 0 + 273 = 273 \text{ К}$

$T_2 = 300 + 273 = 573 \text{ К}$

$m_п = 1 \cdot 1000 = 1000 \text{ кг}$

$p_{атм} = 97,3 \cdot 10^3 = 97300 \text{ Па}$

Найти:

$Q - ?$

$\Delta U - ?$

Решение:

Поскольку поршень может свободно скользить, давление водорода в сосуде остается постоянным в процессе нагревания. Этот процесс является изобарным ($p = \text{const}$).

Давление газа $p$ в сосуде уравновешивает атмосферное давление $p_{атм}$ и давление, создаваемое поршнем $p_п$: $p = p_{атм} + p_п = p_{атм} + \frac{m_п g}{S}$

Рассчитаем давление газа, приняв ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$: $p = 97300 \text{ Па} + \frac{1000 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}{0,5 \text{ м}^2} = 97300 \text{ Па} + 19600 \text{ Па} = 116900 \text{ Па}$

Для решения задачи будем использовать первый закон термодинамики: $Q = \Delta U + A$ где $Q$ — количество теплоты, сообщенное газу, $\Delta U$ — изменение внутренней энергии газа, $A$ — работа, совершенная газом.

Определите изменение его внутренней энергии

Изменение внутренней энергии идеального газа определяется формулой: $\Delta U = \frac{i}{2} \nu R \Delta T$ где $i$ — число степеней свободы молекул газа, $\nu$ — количество вещества (число молей), $R$ — универсальная газовая постоянная ($R \approx 8,31 \text{ Дж/(моль·К)}$), $\Delta T$ — изменение абсолютной температуры.

Водород (H₂) — двухатомный газ, поэтому число степеней свободы $i = 5$. Изменение температуры: $\Delta T = T_2 - T_1 = 573 \text{ К} - 273 \text{ К} = 300 \text{ К}$.

Количество вещества $\nu$ найдем из уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона) для начального состояния: $p V_1 = \nu R T_1 \Rightarrow \nu = \frac{p V_1}{R T_1}$

$\nu = \frac{116900 \text{ Па} \cdot 1 \text{ м}^3}{8,31 \text{ Дж/(моль·К)} \cdot 273 \text{ К}} \approx 51,53 \text{ моль}$

Теперь можем рассчитать изменение внутренней энергии: $\Delta U = \frac{5}{2} \cdot 51,53 \text{ моль} \cdot 8,31 \text{ Дж/(моль·К)} \cdot 300 \text{ К} \approx 321156 \text{ Дж} \approx 321,2 \text{ кДж}$

Ответ: изменение внутренней энергии водорода составляет примерно 321,2 кДж.

Какое количество теплоты потребуется на нагревание водорода до 300°С?

Для нахождения количества теплоты $Q$ необходимо рассчитать работу $A$, совершенную газом при расширении. Работа газа при изобарном процессе: $A = p \Delta V = p (V_2 - V_1)$.

Найдем конечный объем $V_2$ из закона Гей-Люссака для изобарного процесса: $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \Rightarrow V_2 = V_1 \frac{T_2}{T_1}$

$V_2 = 1 \text{ м}^3 \cdot \frac{573 \text{ К}}{273 \text{ К}} \approx 2,1 \text{ м}^3$

Теперь вычислим работу: $A = 116900 \text{ Па} \cdot (2,1 \text{ м}^3 - 1 \text{ м}^3) = 116900 \text{ Па} \cdot 1,1 \text{ м}^3 = 128590 \text{ Дж} \approx 128,6 \text{ кДж}$

Наконец, найдем количество теплоты по первому закону термодинамики: $Q = \Delta U + A = 321156 \text{ Дж} + 128590 \text{ Дж} = 449746 \text{ Дж} \approx 449,7 \text{ кДж}$

Альтернативный способ для $Q$: Для изобарного процесса количество теплоты можно найти по формуле $Q = C_p \nu \Delta T$, где $C_p$ - молярная теплоемкость при постоянном давлении. Для двухатомного газа $C_p = \frac{i+2}{2}R = \frac{7}{2}R$. $Q = \frac{7}{2} \nu R \Delta T = \frac{7}{5} \cdot (\frac{5}{2} \nu R \Delta T) = \frac{7}{5} \Delta U$ $Q = \frac{7}{5} \cdot 321156 \text{ Дж} \approx 449618 \text{ Дж} \approx 449,6 \text{ кДж}$ (Небольшая разница в результатах обусловлена округлением промежуточных вычислений). Будем использовать результат, полученный через сумму.

Ответ: потребуется количество теплоты, равное примерно 449,7 кДж.