Номер 510, страница 69, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Основы термодинамики. Второй закон термодинамики - номер 510, страница 69.

Условие.

510. [431] Идеальный одноатомный газ количеством вещества 1 моль совершает процесс, при котором давление растёт пропорционально объёму по закону $p = \alpha V$. Газу сообщают количество теплоты 33,2 Дж. На сколько изменяется температура газа?

Решение.

Дано:

Тип газа: идеальный одноатомный

Количество вещества: $\nu = 1$ моль

Закон процесса: $p = \alpha V$, где $\alpha$ — константа

Полученное количество теплоты: $Q = 33,2$ Дж

Универсальная газовая постоянная: $R \approx 8,31$ Дж/(моль·К)

Найти:

Изменение температуры газа: $\Delta T$

Решение:

Воспользуемся первым законом термодинамики, согласно которому количество теплоты $\text{Q}$, переданное системе, расходуется на изменение её внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение системой работы $\text{A}$ над внешними телами:

$Q = \Delta U + A$

Для идеального одноатомного газа изменение внутренней энергии $\Delta U$ зависит только от изменения температуры $\Delta T$ и вычисляется по формуле:

$\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T$

Работа газа $\text{A}$ в процессе, где давление изменяется, находится путем интегрирования давления по объему:

$A = \int_{V_1}^{V_2} p dV$

Согласно условию, давление пропорционально объему: $p = \alpha V$. Подставим это выражение в интеграл для работы:

$A = \int_{V_1}^{V_2} \alpha V dV = \alpha \left[ \frac{V^2}{2} \right]_{V_1}^{V_2} = \frac{1}{2} \alpha (V_2^2 - V_1^2)$

Теперь свяжем параметры процесса с температурой с помощью уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона):

$pV = \nu R T$

Подставим в это уравнение закон процесса $p = \alpha V$:

$(\alpha V) V = \nu R T \Rightarrow \alpha V^2 = \nu R T$

Это соотношение показывает связь между объемом и температурой в данном процессе. Для начального (1) и конечного (2) состояний имеем:

$\alpha V_1^2 = \nu R T_1$

$\alpha V_2^2 = \nu R T_2$

Вычтем из второго уравнения первое:

$\alpha V_2^2 - \alpha V_1^2 = \nu R T_2 - \nu R T_1$

$\alpha (V_2^2 - V_1^2) = \nu R (T_2 - T_1) = \nu R \Delta T$

Теперь мы можем выразить работу $\text{A}$ через изменение температуры, подставив найденное выражение $\alpha (V_2^2 - V_1^2)$ в формулу для работы:

$A = \frac{1}{2} (\alpha (V_2^2 - V_1^2)) = \frac{1}{2} \nu R \Delta T$

Подставим выражения для $\Delta U$ и $\text{A}$ в первый закон термодинамики:

$Q = \frac{3}{2} \nu R \Delta T + \frac{1}{2} \nu R \Delta T$

Упростим выражение:

$Q = (\frac{3}{2} + \frac{1}{2}) \nu R \Delta T = \frac{4}{2} \nu R \Delta T = 2 \nu R \Delta T$

Из этого уравнения выразим искомое изменение температуры $\Delta T$:

$\Delta T = \frac{Q}{2 \nu R}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\Delta T = \frac{33,2 \text{ Дж}}{2 \cdot 1 \text{ моль} \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}} = \frac{33,2}{16,62} \text{ К} \approx 1,9976 \text{ К}$

Округляя полученный результат, получаем, что температура газа изменилась на 2 К.

Ответ: 2 К.