Номер 511, страница 70, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Основы термодинамики. Второй закон термодинамики - номер 511, страница 70.

Условие.

511. [432] Одноатомный газ переводят из состояния 1 в состояние 2, для чего используют изохорный и изобарный процессы (рис. 101). При этом $V_2 = 2V_1$, $p_2 = 2p_1$. Определите отношение количеств теплоты, необходимой для совершения перехода из состояния 1 в состояние 2 в одном случае через состояние 3, в другом через состояние 4.

Рис. 101

Решение.

Дано:

Газ одноатомный
$V_2 = 2V_1$
$p_2 = 2p_1$

Найти:

$\frac{Q_{1 \t°3 \t°2}}{Q_{1 \t°4 \t°2}}$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся первым началом термодинамики, согласно которому количество теплоты $\text{Q}$, переданное системе, идет на изменение ее внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение системой работы $\text{A}$ над внешними силами:

$Q = \Delta U + A$

Для одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии определяется формулой:

$\Delta U = \frac{3}{2}\nu R \Delta T = \frac{3}{2}(p_k V_k - p_н V_н)$, где $p_н, V_н$ — начальные давление и объем, а $p_k, V_k$ — конечные.

Работа газа $\text{A}$ при изохорном процессе ($V=const$) равна нулю, а при изобарном процессе ($p=const$) вычисляется как $A = p \Delta V$.

Рассмотрим первый способ перевода газа из состояния 1 в состояние 2: через точку 3 (процесс 1 → 3 → 2).

1. Процесс 1 → 3 является изохорным, так как объем не меняется ($V_1 = V_3 = const$).

Работа газа на этом участке равна нулю: $A_{13} = 0$.

Изменение внутренней энергии: $\Delta U_{13} = \frac{3}{2}(p_3 V_3 - p_1 V_1) = \frac{3}{2}(p_2 V_1 - p_1 V_1) = \frac{3}{2} V_1 (p_2 - p_1)$.

Количество теплоты: $Q_{13} = \Delta U_{13} + A_{13} = \frac{3}{2} V_1 (p_2 - p_1)$.

2. Процесс 3 → 2 является изобарным, так как давление не меняется ($p_3 = p_2 = const$).

Работа газа: $A_{32} = p_2 (V_2 - V_3) = p_2 (V_2 - V_1)$.

Изменение внутренней энергии: $\Delta U_{32} = \frac{3}{2}(p_2 V_2 - p_3 V_3) = \frac{3}{2}(p_2 V_2 - p_2 V_1) = \frac{3}{2} p_2 (V_2 - V_1)$.

Количество теплоты: $Q_{32} = \Delta U_{32} + A_{32} = \frac{3}{2} p_2 (V_2 - V_1) + p_2 (V_2 - V_1) = \frac{5}{2} p_2 (V_2 - V_1)$.

Суммарное количество теплоты для процесса 1 → 3 → 2:

$Q_{1 \t°3 \t°2} = Q_{13} + Q_{32} = \frac{3}{2} V_1 (p_2 - p_1) + \frac{5}{2} p_2 (V_2 - V_1)$.

Подставим известные соотношения $V_2 = 2V_1$ и $p_2 = 2p_1$:

$Q_{1 \t°3 \t°2} = \frac{3}{2} V_1 (2p_1 - p_1) + \frac{5}{2} (2p_1) (2V_1 - V_1) = \frac{3}{2} V_1 p_1 + \frac{5}{2} (2p_1) V_1 = \frac{3}{2} p_1 V_1 + 5 p_1 V_1 = \frac{13}{2} p_1 V_1$.

Рассмотрим второй способ перевода газа из состояния 1 в состояние 2: через точку 4 (процесс 1 → 4 → 2).

1. Процесс 1 → 4 является изобарным ($p_1 = p_4 = const$).

Работа газа: $A_{14} = p_1 (V_4 - V_1) = p_1 (V_2 - V_1)$.

Изменение внутренней энергии: $\Delta U_{14} = \frac{3}{2}(p_4 V_4 - p_1 V_1) = \frac{3}{2}(p_1 V_2 - p_1 V_1) = \frac{3}{2} p_1 (V_2 - V_1)$.

Количество теплоты: $Q_{14} = \Delta U_{14} + A_{14} = \frac{3}{2} p_1 (V_2 - V_1) + p_1 (V_2 - V_1) = \frac{5}{2} p_1 (V_2 - V_1)$.

2. Процесс 4 → 2 является изохорным ($V_4 = V_2 = const$).

Работа газа: $A_{42} = 0$.

Изменение внутренней энергии: $\Delta U_{42} = \frac{3}{2}(p_2 V_2 - p_4 V_4) = \frac{3}{2}(p_2 V_2 - p_1 V_2) = \frac{3}{2} V_2 (p_2 - p_1)$.

Количество теплоты: $Q_{42} = \Delta U_{42} + A_{42} = \frac{3}{2} V_2 (p_2 - p_1)$.

Суммарное количество теплоты для процесса 1 → 4 → 2:

$Q_{1 \t°4 \t°2} = Q_{14} + Q_{42} = \frac{5}{2} p_1 (V_2 - V_1) + \frac{3}{2} V_2 (p_2 - p_1)$.

Подставим известные соотношения $V_2 = 2V_1$ и $p_2 = 2p_1$:

$Q_{1 \t°4 \t°2} = \frac{5}{2} p_1 (2V_1 - V_1) + \frac{3}{2} (2V_1) (2p_1 - p_1) = \frac{5}{2} p_1 V_1 + \frac{3}{2} (2V_1) p_1 = \frac{5}{2} p_1 V_1 + 3 p_1 V_1 = \frac{11}{2} p_1 V_1$.

Теперь найдем искомое отношение количеств теплоты:

$\frac{Q_{1 \t°3 \t°2}}{Q_{1 \t°4 \t°2}} = \frac{\frac{13}{2} p_1 V_1}{\frac{11}{2} p_1 V_1} = \frac{13}{11}$.

Ответ: $\frac{13}{11}$.