Номер 516, страница 70, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Основы термодинамики. Тепловые двигатели - номер 516, страница 70.

Условие.

516. [437] На рисунке 104 показан цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар, который совершает газ количеством вещества 1 моль. Определите КПД цикла, если известно, что в состоянии 1 температура 256 К, в состоянии 3 температура 625 К, в состояниях 2 и 4 температуры одинаковы.

Рис. 104

Решение.

Дано:

$ν = 1 \text{ моль}$

$T_1 = 256 \text{ К}$

$T_3 = 625 \text{ К}$

$T_2 = T_4$

Цикл состоит из двух изохор (1-2 и 3-4) и двух изобар (2-3 и 4-1).

Все данные представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

$η$

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя определяется как отношение совершенной за цикл работы $\text{A}$ к количеству теплоты $Q_H$, полученному от нагревателя:

$η = \frac{A}{Q_H}$

Работа, совершаемая газом за цикл, равна площади прямоугольника на pV-диаграмме: $A = (p_2 - p_1)(V_4 - V_1)$. Также работа может быть найдена как разность полученной и отданной теплоты: $A = Q_H - Q_C$.

Теплота подводится к газу на участках, где его температура растет. Это изохорный нагрев 1-2 и изобарное расширение 2-3.

$Q_H = Q_{12} + Q_{23}$

Теплота отводится от газа на участках изохорного охлаждения 3-4 и изобарного сжатия 4-1.

$Q_C = |Q_{34} + Q_{41}|$

Найдем неизвестные температуры. Запишем уравнения газового состояния для каждого процесса:

1-2 (изохорный, $V=const$): $\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$

2-3 (изобарный, $p=const$): $\frac{V_1}{T_2} = \frac{V_4}{T_3}$

3-4 (изохорный, $V=const$): $\frac{p_2}{T_3} = \frac{p_1}{T_4}$

4-1 (изобарный, $p=const$): $\frac{V_4}{T_4} = \frac{V_1}{T_1}$

Из уравнений для изохорных процессов (1-2 и 3-4) следует:

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{T_2}{T_1}$ и $\frac{p_2}{p_1} = \frac{T_3}{T_4}$

Отсюда $\frac{T_2}{T_1} = \frac{T_3}{T_4}$, что эквивалентно $T_2 T_4 = T_1 T_3$.

По условию задачи $T_2 = T_4$. Подставив это в полученное соотношение, имеем:

$T_2^2 = T_1 T_3$

$T_2 = \sqrt{T_1 T_3}$

Вычислим температуру в состояниях 2 и 4:

$T_2 = T_4 = \sqrt{256 \text{ К} \cdot 625 \text{ К}} = \sqrt{160000} \text{ К} = 400 \text{ К}$

Теперь найдем количество теплоты, полученное от нагревателя:

$Q_H = Q_{12} + Q_{23} = C_V (T_2 - T_1) + C_p (T_3 - T_2)$

где $C_V$ и $C_p$ — молярные теплоемкости газа при постоянном объеме и постоянном давлении соответственно.

Работа за цикл $\text{A}$ равна разности теплот $Q_H$ и $Q_C$. Найдем отданную теплоту:

$Q_C = |Q_{34} + Q_{41}| = |C_V(T_4 - T_3) + C_p(T_1 - T_4)| = C_V(T_3 - T_4) + C_p(T_4 - T_1)$

Так как $T_2 = T_4$, то $Q_C = C_V(T_3 - T_2) + C_p(T_2 - T_1)$.

Тогда работа за цикл:

$A = Q_H - Q_C = (C_V(T_2 - T_1) + C_p(T_3 - T_2)) - (C_V(T_3 - T_2) + C_p(T_2 - T_1))$

$A = C_V(T_2 - T_1 - T_3 + T_2) + C_p(T_3 - T_2 - T_2 + T_1) = C_V(2T_2 - T_1 - T_3) + C_p(T_1 + T_3 - 2T_2)$

$A = (C_p - C_V)(T_1 + T_3 - 2T_2)$

Используя уравнение Майера $C_p - C_V = νR$, для одного моля $C_p - C_V = R$.

$A = νR(T_1 + T_3 - 2T_2) = 1 \text{ моль} \cdot R \cdot (256 \text{ К} + 625 \text{ К} - 2 \cdot 400 \text{ К}) = R \cdot (881 - 800) = 81R$

Подставим значения температур в выражение для $Q_H$:

$Q_H = C_V (400 - 256) + C_p (625 - 400) = 144 C_V + 225 C_p$

Тогда КПД:

$η = \frac{A}{Q_H} = \frac{81R}{144 C_V + 225 C_p}$

В условии не указан тип газа, поэтому молярные теплоемкости $C_V$ и $C_p$ неизвестны. В таких задачах обычно предполагается, что газ является идеальным одноатомным. Для идеального одноатомного газа:

$C_V = \frac{3}{2}νR = \frac{3}{2}R$ (для 1 моля)

$C_p = \frac{5}{2}νR = \frac{5}{2}R$ (для 1 моля)

Подставим эти значения в формулу для КПД:

$η = \frac{81R}{144 \cdot \frac{3}{2}R + 225 \cdot \frac{5}{2}R} = \frac{81R}{(\frac{432}{2} + \frac{1125}{2})R} = \frac{81}{\frac{1557}{2}}$

$η = \frac{162}{1557}$

Сократим дробь (числитель и знаменатель делятся на 9):

$η = \frac{18}{173} \approx 0.104$

КПД в процентах: $η \approx 10.4\%$

Ответ: $η = \frac{18}{173} \approx 10.4\%$