Номер 522, страница 71, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Основы термодинамики. Тепловые двигатели - номер 522, страница 71.

Условие.

522. [443] С идеальным газом проводят циклический процесс, изображённый на рисунке 107. Определите КПД цикла.

Рис. 107

Решение.

Дано:

Циклический процесс 1-2-3-1 для идеального газа.

Параметры состояний, заданные в условных единицах $p_1$ и $V_1$:

Состояние 1: объем $V_{1,state} = V_1$, давление $p_{1,state} = 3p_1$.

Состояние 2: объем $V_{2,state} = 4V_1$, давление $p_{2,state} = 3p_1$.

Состояние 3: объем $V_{3,state} = 4V_1$, давление $p_{3,state} = p_1$.

Найти:

КПД цикла $\eta$.

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя определяется по формуле:

$\eta = \frac{A_{цикла}}{Q_{нагр}}$

где $A_{цикла}$ — полезная работа, совершаемая газом за цикл, а $Q_{нагр}$ — количество теплоты, полученное газом от нагревателя за цикл.

1. Найдем работу газа за цикл. В координатах p-V работа за цикл численно равна площади фигуры, ограниченной графиком цикла. В данном случае это площадь треугольника 1-2-3.

$A_{цикла} = \frac{1}{2} \cdot (V_{2,state} - V_{1,state}) \cdot (p_{1,state} - p_{3,state})$

Подставляя значения из графика:

$A_{цикла} = \frac{1}{2} \cdot (4V_1 - V_1) \cdot (3p_1 - p_1) = \frac{1}{2} \cdot 3V_1 \cdot 2p_1 = 3p_1V_1$

2. Найдем количество теплоты, полученное газом от нагревателя, $Q_{нагр}$. Теплота подводится к газу на тех участках цикла, где количество теплоты $\text{Q}$ положительно. Проанализируем каждый процесс, используя первый закон термодинамики $Q = \Delta U + A$.

Процесс 1-2: Изобарное расширение ($p = const$). Объем газа увеличивается, поэтому работа газа $A_{12}$ положительна. Согласно закону Гей-Люссака, при изобарном расширении температура газа увеличивается, следовательно, изменение внутренней энергии $\Delta U_{12}$ также положительно. Таким образом, $Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} > 0$. На этом участке газ получает тепло.

Найдем величину $Q_{12}$.

Работа газа в процессе 1-2: $A_{12} = p \Delta V = 3p_1(4V_1 - V_1) = 9p_1V_1$.

Изменение внутренней энергии для идеального газа равно $\Delta U = \frac{i}{2}\nu R \Delta T = \frac{i}{2}\Delta(pV)$, где $\text{i}$ - число степеней свободы молекул газа.

$\Delta U_{12} = \frac{i}{2}(p_{2,state}V_{2,state} - p_{1,state}V_{1,state}) = \frac{i}{2}(3p_1 \cdot 4V_1 - 3p_1 \cdot V_1) = \frac{i}{2}(12p_1V_1 - 3p_1V_1) = \frac{9i}{2}p_1V_1$.

Тогда количество теплоты, полученное газом:

$Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} = \frac{9i}{2}p_1V_1 + 9p_1V_1 = (\frac{i}{2} + 1)9p_1V_1$.

Процесс 2-3: Изохорное охлаждение ($V = const$). Работа газа $A_{23} = 0$, так как объем не меняется. Давление падает, по закону Шарля температура также падает, поэтому $\Delta U_{23} < 0$. Следовательно, $Q_{23} = \Delta U_{23} < 0$. На этом участке газ отдает тепло.

Процесс 3-1: Сжатие с одновременным ростом давления. Работа газа $A_{31}$ отрицательна, так как объем уменьшается. Сравним температуры в точках 3 и 1. Используя уравнение состояния идеального газа $T = pV/(\nu R)$, получаем, что температура пропорциональна произведению $pV$.

$T_3 \propt°p_{3,state}V_{3,state} = p_1 \cdot 4V_1 = 4p_1V_1$

$T_1 \propt°p_{1,state}V_{1,state} = 3p_1 \cdot V_1 = 3p_1V_1$

Так как $T_1 < T_3$, общее изменение внутренней энергии на этом участке $\Delta U_{31} = U_1 - U_3$ отрицательно. Поскольку и работа $A_{31}$, и общее изменение внутренней энергии $\Delta U_{31}$ отрицательны, то и полное количество теплоты за этот процесс $Q_{31} = \Delta U_{31} + A_{31}$ также отрицательно. На этом участке газ отдает тепло.

Таким образом, газ получает тепло только на участке 1-2. Значит, $Q_{нагр} = Q_{12}$.

$Q_{нагр} = (\frac{i}{2} + 1)9p_1V_1$

3. Вычислим КПД цикла.

$\eta = \frac{A_{цикла}}{Q_{нагр}} = \frac{3p_1V_1}{(\frac{i}{2} + 1)9p_1V_1} = \frac{3}{9(\frac{i+2}{2})} = \frac{1}{3\frac{i+2}{2}} = \frac{2}{3(i+2)}$

Поскольку в условии задачи тип идеального газа не указан, будем считать его одноатомным как наиболее простой случай. Для одноатомного идеального газа число степеней свободы $i=3$.

$\eta = \frac{2}{3(3+2)} = \frac{2}{3 \cdot 5} = \frac{2}{15}$

Ответ: КПД цикла равен $\frac{2}{15}$.