Номер 518, страница 71, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Основы термодинамики. Тепловые двигатели - номер 518, страница 71.

Условие.

518. [439] На рисунке 106 изображён график цикла, состоящего из изохоры 1–2, изотермы 2–3 и изобары 3–1. В качестве рабочего вещества используется одноатомный газ количеством вещества 4 моль. Определите КПД цикла, если известно, что при изотермическом процессе газ совершает работу 330 Дж.

Рис. 106

Решение.

Дано:

На p-V диаграмме изображен цикл, состоящий из трех процессов:

1–2: Изохорный процесс ($V = const$).

2–3: Изотермический процесс ($T = const$).

3–1: Изобарный процесс ($p = const$).

Рабочее вещество – одноатомный идеальный газ.

Количество вещества: $ \nu = 4 $ моль.

Работа, совершаемая газом при изотермическом расширении: $ A_{23} = 330 $ Дж.

Из графика определяем параметры газа в состояниях 1, 2, 3:

$ p_1 = 1 $ атм

$ V_1 = 1 $ л

$ p_2 = 3 $ атм

$ V_2 = 1 $ л

$ p_3 = 1 $ атм

$ V_3 = 3 $ л

Перевод в систему СИ (примем 1 атм $ \approx 10^5 $ Па):

$ p_1 = p_3 = 1 \text{ атм} = 10^5 \text{ Па} $

$ p_2 = 3 \text{ атм} = 3 \cdot 10^5 \text{ Па} $

$ V_1 = V_2 = 1 \text{ л} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 $

$ V_3 = 3 \text{ л} = 3 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 $

Найти:

КПД цикла $ \eta $.

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя определяется по формуле:

$ \eta = \frac{A_{цикл}}{Q_н} $

где $ A_{цикл} $ — полезная работа, совершенная газом за цикл, а $ Q_н $ — количество теплоты, полученное газом от нагревателя.

1. Вычислим полезную работу за цикл. Она равна сумме работ на каждом участке:

$ A_{цикл} = A_{12} + A_{23} + A_{31} $

На участке 1–2 (изохорный процесс, $ V = const $) работа газа равна нулю: $ A_{12} = 0 $.

На участке 2–3 (изотермический процесс) работа газа дана по условию: $ A_{23} = 330 $ Дж.

На участке 3–1 (изобарный процесс, $ p = const $) работа газа вычисляется как $ A = p \Delta V $:

$ A_{31} = p_1 (V_1 - V_3) = 10^5 \text{ Па} \cdot (1 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 - 3 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3) = 10^5 \cdot (-2 \cdot 10^{-3}) = -200 $ Дж.

Следовательно, полная работа за цикл равна:

$ A_{цикл} = 0 + 330 \text{ Дж} - 200 \text{ Дж} = 130 $ Дж.

2. Определим количество теплоты $ Q_н $, полученное газом от нагревателя. Для этого рассмотрим теплообмен на каждом участке, используя первый закон термодинамики $ Q = \Delta U + A $. Газ получает теплоту, когда $ Q > 0 $.

На участке 1–2 (изохорное нагревание):

$ A_{12} = 0 $. Изменение внутренней энергии для одноатомного газа: $ \Delta U = \frac{3}{2} \Delta(pV) $.

$ Q_{12} = \Delta U_{12} = \frac{3}{2} (p_2 V_2 - p_1 V_1) = \frac{3}{2} (3 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 - 10^5 \text{ Па} \cdot 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3) = \frac{3}{2} (300 - 100) = 300 $ Дж.

Так как $ Q_{12} > 0 $, на этом участке газ получает теплоту.

На участке 2–3 (изотермическое расширение):

Температура постоянна, поэтому изменение внутренней энергии $ \Delta U_{23} = 0 $.

$ Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} = 0 + 330 = 330 $ Дж.

Так как $ Q_{23} > 0 $, на этом участке газ также получает теплоту.

На участке 3–1 (изобарное сжатие) газ совершает отрицательную работу и его температура падает (так как $ T \sim V $ при $ p=const $), следовательно, газ отдает теплоту холодильнику ($ Q_{31} < 0 $).

Суммарное количество теплоты, полученное от нагревателя за цикл, равно:

$ Q_н = Q_{12} + Q_{23} = 300 \text{ Дж} + 330 \text{ Дж} = 630 $ Дж.

3. Теперь можем вычислить КПД цикла:

$ \eta = \frac{A_{цикл}}{Q_н} = \frac{130 \text{ Дж}}{630 \text{ Дж}} = \frac{13}{63} $

Выразим результат в процентах:

$ \eta = \frac{13}{63} \cdot 100\% \approx 20.6\% $

Ответ: КПД цикла составляет примерно 20.6%.