Номер 574, страница 79, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Потенциал электростатического поля. Разность потенциалов - номер 574, страница 79.

Условие.

574. [488] Два положительных заряда находятся на расстоянии 10 см друг от друга. В какой точке напряжённость электрического поля равна нулю? В какой точке потенциал поля равен нулю?

Решение.

Дано:

Два положительных заряда: $q_1 > 0$, $q_2 > 0$
Расстояние между зарядами: $d = 10 \text{ см}$

В системе СИ:
$d = 0.1 \text{ м}$

Найти:

1. Точку, в которой напряжённость электрического поля $\vec{E}$ равна нулю.
2. Точку, в которой потенциал поля $\varphi$ равен нулю.

Решение:

В какой точке напряжённость электрического поля равна нулю?

Напряжённость электрического поля – это векторная величина. Согласно принципу суперпозиции, результирующая напряжённость $\vec{E}$ в любой точке поля, созданного системой зарядов, равна векторной сумме напряжённостей $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$, создаваемых каждым зарядом в отдельности: $\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2$.

Для того чтобы результирующая напряжённость была равна нулю ($\vec{E} = 0$), векторы $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ должны быть равны по модулю и противоположны по направлению: $\vec{E}_1 = -\vec{E}_2$.

Поскольку оба заряда $q_1$ и $q_2$ положительны, векторы напряжённости $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ направлены радиально от создающих их зарядов. Условие, при котором векторы напряжённости будут противоположно направлены, выполняется только для точек, лежащих на прямой, соединяющей заряды, и только в области между ними.

Пусть искомая точка находится на расстоянии $r_1$ от заряда $q_1$ и на расстоянии $r_2$ от заряда $q_2$. Тогда для точки между зарядами выполняется условие: $r_1 + r_2 = d$.

Модуль напряжённости поля, создаваемого точечным зарядом, определяется по формуле: $E = k \frac{|q|}{r^2}$, где $\text{k}$ – коэффициент пропорциональности.

Приравняем модули напряжённостей в искомой точке: $E_1 = E_2$.
$k \frac{q_1}{r_1^2} = k \frac{q_2}{r_2^2}$
$\frac{q_1}{r_1^2} = \frac{q_2}{r_2^2}$

Из этого соотношения получаем: $\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{q_1}{q_2}$, или $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{q_1}{q_2}}$.

Таким образом, точка с нулевой напряжённостью делит расстояние между зарядами в отношении, равном корню квадратному из отношения величин этих зарядов.

Для нахождения конкретных расстояний решим систему уравнений:
$\begin{cases} r_1 + r_2 = d \\ \frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{q_1}{q_2}} \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $r_1 = r_2 \sqrt{\frac{q_1}{q_2}}$ и подставим в первое:
$r_2 \sqrt{\frac{q_1}{q_2}} + r_2 = d \implies r_2 \left(\sqrt{\frac{q_1}{q_2}} + 1\right) = d$
Отсюда находим $r_2$: $r_2 = \frac{d}{1 + \sqrt{q_1/q_2}} = \frac{d \sqrt{q_2}}{\sqrt{q_1} + \sqrt{q_2}}$.
И, соответственно, $r_1$: $r_1 = d - r_2 = \frac{d \sqrt{q_1}}{\sqrt{q_1} + \sqrt{q_2}}$.

Так как в условии задачи не указаны величины зарядов, мы не можем найти точное численное значение. Однако, если предположить, что заряды равны ($q_1 = q_2 = q$), то их отношение равно единице:
$\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{q}{q}} = 1 \implies r_1 = r_2$.
Учитывая, что $r_1 + r_2 = d = 10 \text{ см}$, получаем $2r_1 = 10 \text{ см}$, откуда $r_1 = r_2 = 5 \text{ см}$. В этом частном случае точка с нулевой напряжённостью находится ровно посередине между зарядами.

Ответ: Напряжённость электрического поля равна нулю в точке, расположенной на линии, соединяющей заряды, между ними, на расстоянии $r_1 = \frac{0.1 \sqrt{q_1}}{\sqrt{q_1} + \sqrt{q_2}}$ м от заряда $q_1$ и $r_2 = \frac{0.1 \sqrt{q_2}}{\sqrt{q_1} + \sqrt{q_2}}$ м от заряда $q_2$. Если заряды одинаковы, то эта точка находится посередине между ними, на расстоянии 5 см от каждого заряда.

---

В какой точке потенциал поля равен нулю?

Потенциал электрического поля – это скалярная величина. Результирующий потенциал $\varphi$ в некоторой точке пространства равен алгебраической сумме потенциалов $\varphi_1$ и $\varphi_2$, создаваемых каждым зарядом: $\varphi = \varphi_1 + \varphi_2$.

Потенциал поля, создаваемого точечным зарядом, определяется по формуле: $\varphi = k \frac{q}{r}$.
Следовательно, результирующий потенциал от двух зарядов: $\varphi = k \frac{q_1}{r_1} + k \frac{q_2}{r_2}$.

По условию задачи, оба заряда являются положительными ($q_1 > 0$ и $q_2 > 0$). Электрическая постоянная $\text{k}$ также является положительной величиной ($k \approx 9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2$). Расстояния $r_1$ и $r_2$ до любой конечной точки в пространстве всегда положительны ($r_1 > 0$, $r_2 > 0$).

Таким образом, оба слагаемых в формуле для потенциала, $\varphi_1 = k \frac{q_1}{r_1}$ и $\varphi_2 = k \frac{q_2}{r_2}$, всегда будут строго положительными. Сумма двух положительных чисел не может быть равна нулю.

Потенциал может быть равен нулю только на бесконечном удалении от зарядов (когда $r_1 \t°\infty$ и $r_2 \t°\infty$), так как по соглашению потенциал на бесконечности принимается за ноль.

Ответ: В системе, состоящей из двух положительных зарядов, не существует ни одной точки в конечном пространстве, где потенциал электрического поля был бы равен нулю. Потенциал равен нулю только на бесконечности.