Номер 569, страница 78, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Потенциал электростатического поля. Разность потенциалов - номер 569, страница 78.

Условие.

569. [483] На рисунке 121 показаны силовые линии электрического поля в трёх случаях. В каком случае работа поля будет больше при перемещении положительного заряда из точки $\text{A}$ в точку $\text{B}$, если расстояние $\text{AB}$ везде одинаково? Густота силовых линий в случае а в точках $\text{A}$ и $\text{B}$ равна густоте силовых линий в случае в в точках $\text{B}$ и $\text{A}$.

Рис. 121

Решение.

Решение

Работа $\text{A}$ электростатического поля по перемещению заряда $\text{q}$ из точки А в точку В определяется разностью потенциалов $U_{AB}$ между этими точками: $A = qU_{AB} = q(\phi_A - \phi_B)$. Разность потенциалов, в свою очередь, можно выразить через напряженность электрического поля $\vec{E}$ как интеграл вдоль пути перемещения: $U_{AB} = \int_A^B \vec{E} \cdot d\vec{l}$.

Во всех трех случаях положительный заряд перемещается из точки А в точку В вдоль силовой линии, поэтому вектор напряженности $\vec{E}$ сонаправлен с вектором перемещения $d\vec{l}$. Работа поля будет положительной и равной $A = q \int_A^B E(l)dl$. Так как заряд $\text{q}$ и расстояние $AB$ одинаковы во всех случаях, работа будет больше там, где больше среднее значение напряженности поля $\bar{E}$ на отрезке АВ.

Проанализируем каждый случай, исходя из густоты силовых линий, которая пропорциональна модулю напряженности поля $\text{E}$.

а) Силовые линии расходятся, их густота уменьшается. Это означает, что напряженность поля убывает при движении от А к В ($E_A > E_B$). Поле является неоднородным.

б) Силовые линии параллельны и равноудалены друг от друга. Это означает, что поле является однородным, и его напряженность постоянна вдоль всего пути ($E_A = E_B = \text{const}$).

в) Силовые линии сходятся, их густота увеличивается. Это означает, что напряженность поля возрастает при движении от А к В ($E_A < E_B$). Поле является неоднородным.

В условии задачи дано дополнительное соотношение: густота силовых линий в случае а в точках А и В равна густоте силовых линий в случае в в точках В и А соответственно. Это означает, что $E_{A,a} = E_{B,в}$ и $E_{B,a} = E_{A,в}$. Из этой симметрии следует, что распределение модуля напряженности поля на отрезке АВ в случае в является "зеркальным отражением" распределения в случае а. Следовательно, средние значения напряженности поля на этом отрезке для случаев а и в будут одинаковы. Таким образом, работа, совершаемая полем, в этих случаях также одинакова: $A_a = A_в$.

В вопросе требуется указать единственный случай, в котором работа будет больше. Поскольку $A_a = A_в$, ни один из этих случаев не может быть уникальным ответом. Следовательно, наибольшая работа должна совершаться в случае б, то есть должно выполняться неравенство $A_б > A_a = A_в$.

Обоснуем это. Для сравнения примем, что напряженность однородного поля в случае б равна среднему арифметическому значению напряженностей на концах отрезка в случае а: $E_б = \frac{E_{A,a} + E_{B,a}}{2}$. Тогда работа в случае б равна $A_б = q \cdot E_б \cdot L = qL \frac{E_{A,a} + E_{B,a}}{2}$, где $\text{L}$ - расстояние АВ. Работа в случае а вычисляется как $A_a = q \int_0^L E_a(l) dl$. График зависимости напряженности от расстояния для расходящегося поля, создаваемого физическими источниками (например, точечным зарядом), является выпуклой функцией. Для любой выпуклой функции площадь под ее графиком (интеграл) меньше площади трапеции, построенной на концах отрезка. Таким образом, $\int_0^L E_a(l) dl < L \frac{E_{A,a} + E_{B,a}}{2}$. Отсюда следует, что $A_a < A_б$.

Итак, мы получили соотношение $A_a = A_в < A_б$. Следовательно, работа поля будет наибольшей в случае однородного поля.

Ответ: работа поля будет больше в случае б.