Номер 562, страница 77, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Проводники и диэлектрики в электростатическом поле - номер 562, страница 77.

Условие.

562. H Точечный заряд $q = 10^{-9}$ Кл окружён сферической диэлектрической оболочкой, внутренний радиус которой $R_1 = 0,5$ м, а внешний $R_2 = 1$ м. Относительная диэлектрическая проницаемость оболочки $\varepsilon = 3$. Определите напряжённости электрического поля в точках, удалённых от заряда на расстояния $r_1 = 0,25$ м, $r_2 = 0,75$ м, $r_3 = 2$ м. Не выполняя дополнительных вычислений, постройте качественную зависимость $E(r)$.

$\vec{E_0}$

Решение.

Дано:

Точечный заряд $q = 10^{-9}$ Кл

Внутренний радиус диэлектрической оболочки $R_1 = 0,5$ м

Внешний радиус диэлектрической оболочки $R_2 = 1$ м

Относительная диэлектрическая проницаемость оболочки $\varepsilon = 3$

Расстояния до точек $r_1 = 0,25$ м, $r_2 = 0,75$ м, $r_3 = 2$ м

Все величины заданы в системе СИ.

Найти:

Напряженность электрического поля в точках $E(r_1)$, $E(r_2)$, $E(r_3)$ и построить качественную зависимость $E(r)$.

Решение:

Для определения напряженности электрического поля, создаваемого точечным зарядом, воспользуемся теоремой Гаусса. Напряженность поля на расстоянии $\text{r}$ от точечного заряда $\text{q}$ в среде с относительной диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ определяется формулой:

$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon} \frac{q}{r^2} = \frac{k}{\varepsilon} \frac{q}{r^2}$

где $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл² — коэффициент пропорциональности в законе Кулона.

Разобьем пространство на три области: I) внутри полости ($r < R_1$), II) внутри диэлектрика ($R_1 \le r \le R_2$), III) снаружи оболочки ($r > R_2$).

Определение напряженности в точке r₁ = 0,25 м

Эта точка находится в области I, внутри полости сферической оболочки ($r_1 < R_1$). В этой области среда — вакуум, поэтому $\varepsilon = 1$.

Напряженность поля $E_1$ вычисляется по формуле для поля точечного заряда в вакууме:

$E_1 = k \frac{q}{r_1^2}$

Подставляем числовые значения:

$E_1 = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{10^{-9}}{0,25^2} = \frac{9}{0,0625} = 144$ В/м.

Ответ: $E(r_1) = 144$ В/м.

Определение напряженности в точке r₂ = 0,75 м

Эта точка находится в области II, внутри диэлектрической оболочки ($R_1 < r_2 < R_2$). В этой области относительная диэлектрическая проницаемость $\varepsilon = 3$.

Напряженность поля $E_2$ ослабляется диэлектриком:

$E_2 = \frac{k}{\varepsilon} \frac{q}{r_2^2}$

Подставляем числовые значения:

$E_2 = \frac{9 \cdot 10^9}{3} \cdot \frac{10^{-9}}{0,75^2} = \frac{9}{3 \cdot 0,5625} = \frac{3}{0,5625} \approx 5,33$ В/м.

Ответ: $E(r_2) \approx 5,33$ В/м.

Определение напряженности в точке r₃ = 2 м

Эта точка находится в области III, снаружи диэлектрической оболочки ($r_3 > R_2$). Согласно теореме Гаусса, поле вне сферически симметричной диэлектрической оболочки эквивалентно полю точечного заряда, помещенного в центр, так как оболочка в целом нейтральна. Среда снова вакуум ($\varepsilon = 1$).

Напряженность поля $E_3$ вычисляется по формуле для поля точечного заряда в вакууме:

$E_3 = k \frac{q}{r_3^2}$

Подставляем числовые значения:

$E_3 = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{10^{-9}}{2^2} = \frac{9}{4} = 2,25$ В/м.

Ответ: $E(r_3) = 2,25$ В/м.

Построение качественной зависимости E(r)

График зависимости напряженности поля $\text{E}$ от расстояния $\text{r}$ до центрального заряда будет состоять из трех участков, соответствующих трем областям:

1. Область I ($0 < r < R_1 = 0,5$ м): Поле в вакууме. Напряженность убывает пропорционально $1/r^2$, $E(r) = \frac{kq}{r^2}$. На границе с диэлектриком при $r \t°R_1^-$ напряженность стремится к значению $E(R_1^-) = k\frac{q}{R_1^2} = \frac{9}{0,5^2} = 36$ В/м.

2. Область II ($R_1 \le r \le R_2 = 1$ м): Поле в диэлектрике. Напряженность также убывает пропорционально $1/r^2$, но ослаблена в $\varepsilon$ раз, $E(r) = \frac{kq}{\varepsilon r^2}$. На внутренней границе ($r = R_1$) напряженность скачком уменьшается в $\varepsilon = 3$ раза: $E(R_1^+) = \frac{E(R_1^-)}{\varepsilon} = \frac{36}{3} = 12$ В/м. На внешней границе при $r \t°R_2^-$ напряженность равна $E(R_2^-) = \frac{kq}{\varepsilon R_2^2} = \frac{9}{3 \cdot 1^2} = 3$ В/м.

3. Область III ($r > R_2 = 1$ м): Поле снова в вакууме. На внешней границе ($r = R_2$) напряженность скачком увеличивается в $\varepsilon = 3$ раза, так как ослабляющее действие диэлектрика прекращается: $E(R_2^+) = k\frac{q}{R_2^2} = \varepsilon \cdot E(R_2^-) = 3 \cdot 3 = 9$ В/м. При дальнейшем увеличении $\text{r}$ напряженность снова убывает пропорционально $1/r^2$.

Ответ: Качественно график $E(r)$ представляет собой кривую, убывающую по закону $E \propt°1/r^2$. График имеет два разрыва: при $r = 0,5$ м напряженность скачком падает с 36 В/м до 12 В/м, а при $r = 1$ м — скачком возрастает с 3 В/м до 9 В/м.