Номер 560, страница 77, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Проводники и диэлектрики в электростатическом поле - номер 560, страница 77.

Условие.

560. [481] В однородное электрическое поле внесли перпенди481 кулярно линиям поля две одинаковые диэлектрические пластины. В первой напряжённость поля уменьшилась в 2 раза, во второй — в 7 раз. У какой из пластин на поверхности собирается больший связанный заряд? Во сколько раз связанный заряд на поверхности одного диэлектрика отличается от связанного заряда на поверхности другого диэлектрика?

Решение.

Дано:

Пусть $E_0$ – напряжённость исходного однородного электрического поля.
$E_1$ – напряжённость поля внутри первой диэлектрической пластины.
$E_2$ – напряжённость поля внутри второй диэлектрической пластины.
$E_1 = \frac{E_0}{2}$
$E_2 = \frac{E_0}{7}$
Пластины одинаковые.

Найти:

1. У какой из пластин на поверхности собирается больший связанный заряд ($q_{св}$)?
2. Во сколько раз связанный заряд на поверхности одного диэлектрика отличается от связанного заряда на поверхности другого ($\frac{q_{св2}}{q_{св1}}$)?

Решение:

Когда диэлектрическую пластину помещают в однородное электрическое поле с напряжённостью $E_0$, происходит поляризация диэлектрика. На его поверхностях, перпендикулярных силовым линиям поля, появляются связанные (поляризационные) заряды. Эти заряды создают собственное электрическое поле $E_{св}$, которое направлено против внешнего поля $E_0$.

Результирующее поле $\text{E}$ внутри диэлектрика является векторной суммой внешнего поля и поля связанных зарядов:
$E = E_0 - E_{св}$

Напряжённость поля $E_{св}$, создаваемого связанными зарядами с поверхностной плотностью $\sigma_{св}$ на плоских гранях пластины, определяется формулой:
$E_{св} = \frac{\sigma_{св}}{\epsilon_0}$
где $\epsilon_0$ – электрическая постоянная.

Из этих двух уравнений можно выразить поверхностную плотность связанных зарядов:
$\sigma_{св} = \epsilon_0 \cdot E_{св} = \epsilon_0(E_0 - E)$

Так как по условию пластины одинаковые, они имеют одинаковую площадь поверхности $\text{S}$. Полный связанный заряд на поверхности $q_{св}$ прямо пропорционален поверхностной плотности: $q_{св} = \sigma_{св} \cdot S$. Следовательно, для ответа на вопросы задачи достаточно сравнить поверхностные плотности связанных зарядов $\sigma_{св1}$ и $\sigma_{св2}$ для двух пластин.

Для первой пластины:
$E_1 = \frac{E_0}{2}$
$\sigma_{св1} = \epsilon_0(E_0 - E_1) = \epsilon_0(E_0 - \frac{E_0}{2}) = \frac{1}{2}\epsilon_0 E_0$

Для второй пластины:
$E_2 = \frac{E_0}{7}$
$\sigma_{св2} = \epsilon_0(E_0 - E_2) = \epsilon_0(E_0 - \frac{E_0}{7}) = \frac{6}{7}\epsilon_0 E_0$

Теперь сравним величины $\sigma_{св1}$ и $\sigma_{св2}$. Для этого сравним коэффициенты $\frac{1}{2}$ и $\frac{6}{7}$.
$\frac{1}{2} = 0.5$
$\frac{6}{7} \approx 0.857$
Поскольку $\frac{6}{7} > \frac{1}{2}$, то $\sigma_{св2} > \sigma_{св1}$. Это означает, что на поверхности второй пластины собирается больший связанный заряд.

Чтобы найти, во сколько раз заряд на второй пластине больше, чем на первой, найдём отношение их поверхностных плотностей (которое равно отношению полных зарядов):
$\frac{q_{св2}}{q_{св1}} = \frac{\sigma_{св2}}{\sigma_{св1}} = \frac{\frac{6}{7}\epsilon_0 E_0}{\frac{1}{2}\epsilon_0 E_0} = \frac{6/7}{1/2} = \frac{6 \cdot 2}{7 \cdot 1} = \frac{12}{7}$

Ответ: Больший связанный заряд собирается на поверхности второй пластины (в которой поле ослабляется в 7 раз). Связанный заряд на поверхности второго диэлектрика в $\frac{12}{7}$ раза (примерно в 1,71 раза) больше, чем на поверхности первого.