Номер 554, страница 76, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Проводники и диэлектрики в электростатическом поле - номер 554, страница 76.

Условие.

554. [475] Проводящая сфера радиусом 5 см окружена диэлектрической оболочкой, внутренний радиус которой 10 см, а внешний 15 см. Напряжённость электрического поля уменьшается в диэлектрике в 7 раз (стекло). Определите напряжённость в точках $A, B, C$ и $\text{D}$. Постройте график зависимости напряжённости электрического поля от расстояния от центра сферы, если заряд сферы $10^{-7}$ Кл, $r_A = 2$ см, $r_B = 9$ см, $r_C = 12$ см, $r_D = 20$ см.

Решение.

Дано:

Радиус проводящей сферы, $R_1 = 5 \text{ см}$

Внутренний радиус диэлектрической оболочки, $R_2 = 10 \text{ см}$

Внешний радиус диэлектрической оболочки, $R_3 = 15 \text{ см}$

Уменьшение напряженности поля в диэлектрике в 7 раз, следовательно, диэлектрическая проницаемость $\varepsilon = 7$

Заряд сферы, $q = 10^{-7} \text{ Кл}$

Расстояние до точки A, $r_A = 2 \text{ см}$

Расстояние до точки B, $r_B = 9 \text{ см}$

Расстояние до точки C, $r_C = 12 \text{ см}$

Расстояние до точки D, $r_D = 20 \text{ см}$

Коэффициент пропорциональности в законе Кулона, $k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Перевод в СИ:

$R_1 = 0.05 \text{ м}$

$R_2 = 0.10 \text{ м}$

$R_3 = 0.15 \text{ м}$

$r_A = 0.02 \text{ м}$

$r_B = 0.09 \text{ м}$

$r_C = 0.12 \text{ м}$

$r_D = 0.20 \text{ м}$

Найти:

$E_A, E_B, E_C, E_D$ — напряженности электрического поля в точках A, B, C, D.

График зависимости $E(r)$.

Решение:

Определите напряженность в точках A, B, C и D

Для определения напряженности электрического поля $\text{E}$ на расстоянии $\text{r}$ от центра заряженной сферы, рассмотрим четыре области пространства.

Точка A ($r_A = 0.02 \text{ м}$)

Точка A находится внутри проводящей сферы ($r_A < R_1$). Согласно электростатике, напряженность электрического поля внутри проводника равна нулю.

$E_A = 0$

Ответ: $E_A = 0 \text{ В/м}$.

Точка B ($r_B = 0.09 \text{ м}$)

Точка B находится в пространстве между проводящей сферой и диэлектрической оболочкой ($R_1 < r_B < R_2$). В этой области (вакуум) напряженность поля создается зарядом сферы $\text{q}$ и вычисляется по формуле:

$E_B = k \frac{|q|}{r_B^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{10^{-7}}{(0.09)^2} = \frac{900}{0.0081} \approx 111111 \text{ В/м} \approx 1.11 \cdot 10^5 \text{ В/м}$.

Ответ: $E_B \approx 1.11 \cdot 10^5 \text{ В/м}$.

Точка C ($r_C = 0.12 \text{ м}$)

Точка C находится внутри диэлектрической оболочки ($R_2 < r_C < R_3$). Электрическое поле в диэлектрике ослабляется в $\varepsilon$ раз:

$E_C = \frac{k}{\varepsilon} \frac{|q|}{r_C^2} = \frac{9 \cdot 10^9}{7} \frac{10^{-7}}{(0.12)^2} = \frac{900}{7 \cdot 0.0144} = \frac{900}{0.1008} \approx 8929 \text{ В/м} \approx 8.93 \cdot 10^3 \text{ В/м}$.

Ответ: $E_C \approx 8.93 \cdot 10^3 \text{ В/м}$.

Точка D ($r_D = 0.20 \text{ м}$)

Точка D находится вне диэлектрической оболочки ($r_D > R_3$), в вакууме.

$E_D = k \frac{|q|}{r_D^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{10^{-7}}{(0.20)^2} = \frac{900}{0.04} = 22500 \text{ В/м} = 2.25 \cdot 10^4 \text{ В/м}$.

Ответ: $E_D = 2.25 \cdot 10^4 \text{ В/м}$.

Постройте график зависимости напряженности электрического поля от расстояния от центра сферы

Для построения графика зависимости $E(r)$ рассчитаем значения напряженности на границах областей:

1. Внутри проводника ($0 \le r < 0.05 \text{ м}$): $E(r) = 0$.

2. Между сферой и оболочкой ($0.05 \text{ м} \le r < 0.10 \text{ м}$): $E(r) = k \frac{|q|}{r^2}$.
На границе $r = R_1 = 0.05 \text{ м}$ (снаружи): $E(R_1^+) = \frac{900}{(0.05)^2} = 3.6 \cdot 10^5 \text{ В/м}$.
На границе $r = R_2 = 0.10 \text{ м}$ (изнутри): $E(R_2^-) = \frac{900}{(0.10)^2} = 9 \cdot 10^4 \text{ В/м}$.

3. Внутри диэлектрика ($0.10 \text{ м} \le r < 0.15 \text{ м}$): $E(r) = \frac{k}{\varepsilon} \frac{|q|}{r^2}$.
На границе $r = R_2 = 0.10 \text{ м}$ (снаружи): $E(R_2^+) = \frac{E(R_2^-)}{\varepsilon} = \frac{9 \cdot 10^4}{7} \approx 1.29 \cdot 10^4 \text{ В/м}$.
На границе $r = R_3 = 0.15 \text{ м}$ (изнутри): $E(R_3^-) = \frac{900}{7 \cdot (0.15)^2} \approx 5.71 \cdot 10^3 \text{ В/м}$.

4. Вне оболочки ($r \ge 0.15 \text{ м}$): $E(r) = k \frac{|q|}{r^2}$.
На границе $r = R_3 = 0.15 \text{ м}$ (снаружи): $E(R_3^+) = \frac{900}{(0.15)^2} = 4 \cdot 10^4 \text{ В/м}$.

График имеет следующий вид:

– На участке $[0; 0.05 \text{ м})$ напряженность $E=0$.

– В точке $r=0.05 \text{ м}$ напряженность скачком возрастает от $\text{0}$ до $3.6 \cdot 10^5 \text{ В/м}$.

– На участке $(0.05 \text{ м}; 0.10 \text{ м})$ напряженность убывает пропорционально $1/r^2$ от $3.6 \cdot 10^5$ до $9 \cdot 10^4 \text{ В/м}$.

– В точке $r=0.10 \text{ м}$ напряженность скачком уменьшается (в $\varepsilon=7$ раз) от $9 \cdot 10^4$ до $\approx 1.29 \cdot 10^4 \text{ В/м}$.

– На участке $(0.10 \text{ м}; 0.15 \text{ м})$ напряженность убывает пропорционально $1/r^2$ от $\approx 1.29 \cdot 10^4$ до $\approx 5.71 \cdot 10^3 \text{ В/м}$.

– В точке $r=0.15 \text{ м}$ напряженность скачком возрастает (в $\varepsilon=7$ раз) от $\approx 5.71 \cdot 10^3$ до $4 \cdot 10^4 \text{ В/м}$.

– При $r > 0.15 \text{ м}$ напряженность продолжает убывать пропорционально $1/r^2$.

Ответ: График зависимости $E(r)$ представляет собой кривую с разрывами в точках, соответствующих границам проводника и диэлектрика ($r=0.05$ м, $r=0.10$ м и $r=0.15$ м), вид которой описан выше.