Номер 559, страница 77, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Проводники и диэлектрики в электростатическом поле - номер 559, страница 77.

Условие.

559. [480] Два одинаково заряженных шарика массой 200 г и радиусом 2 см каждый висят на двух одинаковых нитях, угол между которыми $2\phi_0 = 120^\circ$ (рис. 117). Чему равна плотность жидкого диэлектрика, в который надо поместить систему, чтобы угол между нитями стал $2\phi = 90^\circ$? Напряжённость электрического поля в диэлектрике уменьшается в 3 раза.

Рис. 117

Решение.

Дано

$m = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$

$r = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

$2\phi_0 = 120^\circ \implies \phi_0 = 60^\circ$

$2\phi = 90^\circ \implies \phi = 45^\circ$

$\epsilon = 3$ (Напряженность поля, а следовательно и сила Кулона, уменьшается в 3 раза)

Найти:

$\rho_{ж}$ - плотность жидкого диэлектрика.

Решение

Рассмотрим равновесие одного из шариков в двух случаях: в воздухе и в жидком диэлектрике. Пусть длина нити равна $\text{L}$, а заряд каждого шарика $\text{q}$.

1. Равновесие в воздухе (начальное состояние).

На шарик действуют три силы: сила тяжести $F_g = mg$, сила натяжения нити $T_0$ и сила кулоновского отталкивания $F_{e0}$. Угол отклонения нити от вертикали равен $\phi_0 = 120^\circ / 2 = 60^\circ$.

Запишем условия равновесия в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:

$T_0 \sin\phi_0 = F_{e0}$

$T_0 \cos\phi_0 = mg$

Разделив первое уравнение на второе, получим:

$\tan\phi_0 = \frac{F_{e0}}{mg}$ (1)

Сила Кулона $F_{e0} = k \frac{q^2}{d_0^2}$, где $d_0 = 2L \sin\phi_0$ - расстояние между шариками.

2. Равновесие в жидком диэлектрике (конечное состояние).

При погружении в диэлектрик на шарик начинает действовать выталкивающая сила Архимеда $F_A = \rho_ж g V$, направленная вверх, где $\rho_ж$ - искомая плотность жидкости, а $\text{V}$ - объем шарика. Сила кулоновского отталкивания $F_e$ уменьшается из-за диэлектрической проницаемости среды $\epsilon$. Угол отклонения нити от вертикали становится $\phi = 90^\circ / 2 = 45^\circ$.

Условия равновесия в проекциях на оси:

$T \sin\phi = F_e$

$T \cos\phi + F_A = mg \implies T \cos\phi = mg - F_A$

Разделив первое уравнение на второе, получим:

$\tan\phi = \frac{F_e}{mg - F_A}$ (2)

Сила Кулона в диэлектрике $F_e = \frac{1}{\epsilon} k \frac{q^2}{d^2}$, где $d = 2L \sin\phi$.

3. Нахождение плотности жидкости.

Выразим кулоновские силы из уравнений (1) и (2):

$F_{e0} = mg \tan\phi_0 \implies k \frac{q^2}{(2L \sin\phi_0)^2} = mg \tan\phi_0$

$F_e = (mg - F_A) \tan\phi \implies \frac{1}{\epsilon} k \frac{q^2}{(2L \sin\phi)^2} = (mg - F_A) \tan\phi$

Из этих двух выражений можно исключить неизвестные $\text{q}$ и $\text{L}$. Выразим величину $\frac{kq^2}{4L^2}$ из обоих уравнений:

$\frac{kq^2}{4L^2} = mg \tan\phi_0 \sin^2\phi_0$

$\frac{kq^2}{4L^2} = \epsilon (mg - F_A) \tan\phi \sin^2\phi$

Приравняем правые части:

$mg \tan\phi_0 \sin^2\phi_0 = \epsilon (mg - F_A) \tan\phi \sin^2\phi$

Подставим выражение для силы Архимеда $F_A = \rho_ж g V$ и выразим $\rho_ж$:

$mg \tan\phi_0 \sin^2\phi_0 = \epsilon (mg - \rho_ж g V) \tan\phi \sin^2\phi$

Сократим $\text{g}$:

$m \tan\phi_0 \sin^2\phi_0 = \epsilon (m - \rho_ж V) \tan\phi \sin^2\phi$

$m - \rho_ж V = \frac{m \tan\phi_0 \sin^2\phi_0}{\epsilon \tan\phi \sin^2\phi}$

$\rho_ж V = m - \frac{m \tan\phi_0 \sin^2\phi_0}{\epsilon \tan\phi \sin^2\phi}$

$\rho_ж = \frac{m}{V} \left( 1 - \frac{\tan\phi_0 \sin^2\phi_0}{\epsilon \tan\phi \sin^2\phi} \right)$

Отношение $\frac{m}{V}$ - это плотность материала шарика $\rho_{ш}$. Объем шарика $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.

$V = \frac{4}{3}\pi (0.02 \text{ м})^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 8 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 \approx 3.351 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3$

$\rho_{ш} = \frac{m}{V} = \frac{0.2 \text{ кг}}{3.351 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3} \approx 5968 \text{ кг/м}^3$

Теперь подставим числовые значения углов и $\epsilon$ в скобку:

$\frac{\tan\phi_0 \sin^2\phi_0}{\epsilon \tan\phi \sin^2\phi} = \frac{\tan(60^\circ) \sin^2(60^\circ)}{3 \cdot \tan(45^\circ) \sin^2(45^\circ)} = \frac{\sqrt{3} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^2}{3 \cdot 1 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{3}{4}}{3 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}}{\frac{3}{2}} = \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим полученное значение в формулу для $\rho_ж$:

$\rho_ж = \rho_{ш} \left( 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$

Вычислим значение:

$\rho_ж \approx 5968 \cdot \left( 1 - \frac{1.732}{2} \right) = 5968 \cdot (1 - 0.866) = 5968 \cdot 0.134 \approx 800 \text{ кг/м}^3$

Ответ:

Плотность жидкого диэлектрика $\rho_ж \approx 800 \text{ кг/м}^3$.