Номер 566, страница 78, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Проводники и диэлектрики в электростатическом поле - номер 566, страница 78.

Условие.

566. [930] Проводящая сфера радиусом 4 см находится в жидком диэлектрике с относительной диэлектрической проницаемостью, равной 2. Заряд сферы $ \frac{1}{9} \cdot 10^{-9} $ Кл. Начертите график зависимости напряжённости электрического поля от расстояния от центра сферы.

Решение.

Дано:

Радиус проводящей сферы, $R = 4$ см

Относительная диэлектрическая проницаемость среды, $\varepsilon = 2$

Заряд сферы, $q = \frac{1}{9} \cdot 10^{-9}$ Кл

$R = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Начертить график зависимости напряженности электрического поля от расстояния от центра сферы, $E(r)$.

Решение:

Напряженность электрического поля $\text{E}$, создаваемого заряженной проводящей сферой, определяется по-разному для точек внутри и снаружи сферы.

1. Внутри сферы ($r < R$)

Согласно электростатической теореме для проводников, в состоянии равновесия напряженность электрического поля внутри проводящей сферы равна нулю. Весь избыточный заряд распределяется по ее поверхности.

Таким образом, для всех точек, где $r < 0.04$ м:

$E(r) = 0$

2. На поверхности и вне сферы ($r \ge R$)

Для точек вне заряженной сферы ее электрическое поле эквивалентно полю точечного заряда, равного заряду сферы и расположенного в ее центре. Поскольку сфера находится в диэлектрике с относительной проницаемостью $\varepsilon$, напряженность поля ослабляется в $\varepsilon$ раз по сравнению с вакуумом.

Формула для напряженности поля имеет вид:

$E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon} \frac{|q|}{r^2} = \frac{k |q|}{\varepsilon r^2}$

где $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ — постоянная Кулона.

Подставим известные значения в формулу:

$E(r) = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot (\frac{1}{9} \cdot 10^{-9})}{2 \cdot r^2} = \frac{1}{2r^2}$

Эта формула справедлива для $r \ge 0.04$ м.

Найдем значение напряженности на поверхности сферы (при $r = R = 0.04$ м), где она будет максимальной:

$E_{max} = E(R) = \frac{1}{2 \cdot (0.04)^2} = \frac{1}{2 \cdot 0.0016} = \frac{1}{0.0032} = 312.5 \frac{\text{В}}{\text{м}}$

Итоговая зависимость напряженности поля от расстояния:

$E(r) = \begin{cases} 0, & \text{если } r < 0.04 \text{ м} \\ \frac{1}{2r^2}, & \text{если } r \ge 0.04 \text{ м} \end{cases}$

График зависимости $E(r)$:

График состоит из двух частей:

• На интервале от $r=0$ до $r=R=0.04$ м напряженность поля равна нулю ($E=0$), поэтому график совпадает с осью абсцисс.

• В точке $r=R=0.04$ м происходит скачок напряженности от $\text{0}$ до максимального значения $E_{max}=312.5$ В/м.

• При $r > R$ напряженность убывает обратно пропорционально квадрату расстояния ($E \sim 1/r^2$), асимптотически стремясь к нулю.

Ответ:

Зависимость напряженности электрического поля $\text{E}$ от расстояния $\text{r}$ от центра сферы описывается системой уравнений:

$E(r) = \begin{cases} 0, & \text{если } r < 0.04 \text{ м} \\ \frac{1}{2r^2}, & \text{если } r \ge 0.04 \text{ м} \end{cases}$

График этой зависимости представлен выше. Внутри сферы поле равно нулю, на поверхности оно достигает максимального значения $312.5$ В/м, а затем убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от центра.