Номер 565, страница 78, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Проводники и диэлектрики в электростатическом поле - номер 565, страница 78.

Условие.

565. Точечный заряд $q = 3 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}$ окружён сферической диэлектрической оболочкой (рис. 119), относительная диэлектрическая проницаемость которой равна 3. Определите заряд и поверхностную плотность заряда на внешней и внутренней поверхностях оболочки, если $R_1 = 10 \text{ см}$, $R_2 = 30 \text{ см}$.

Рис. 119

Решение.

Дано:

$q = 3 \cdot 10^{-7}$ Кл

$\epsilon = 3$

$R_1 = 10$ см = $0.1$ м

$R_2 = 30$ см = $0.3$ м

Найти:

$q'_1$ - заряд на внутренней поверхности оболочки

$\sigma_1$ - поверхностная плотность заряда на внутренней поверхности оболочки

$q'_2$ - заряд на внешней поверхности оболочки

$\sigma_2$ - поверхностная плотность заряда на внешней поверхности оболочки

Решение:

Точечный заряд $\text{q}$, помещенный в центр сферической диэлектрической оболочки, создает электрическое поле, которое поляризует диэлектрик. В результате поляризации на поверхностях диэлектрика появляются связанные (поляризационные) заряды. На внутренней поверхности, обращенной к положительному заряду $\text{q}$, индуцируется отрицательный связанный заряд $q'_1$, а на внешней — положительный связанный заряд $q'_2$. Так как диэлектрическая оболочка в целом электронейтральна, суммарный связанный заряд равен нулю: $q'_1 + q'_2 = 0$.

Величину связанного заряда на внутренней поверхности можно найти по формуле:

$q'_1 = -q \frac{\epsilon - 1}{\epsilon}$

где $\text{q}$ — свободный заряд, создающий поле, а $\epsilon$ — диэлектрическая проницаемость среды.

Поверхностная плотность заряда на любой поверхности определяется как отношение заряда к площади этой поверхности. Для сфер площади вычисляются по формуле $S = 4\pi R^2$.

1. Заряд и поверхностная плотность заряда на внутренней поверхности оболочки

Найдем связанный заряд $q'_1$ на внутренней поверхности радиусом $R_1$:

$q'_1 = -3 \cdot 10^{-7} \cdot \frac{3 - 1}{3} = -3 \cdot 10^{-7} \cdot \frac{2}{3} = -2 \cdot 10^{-7}$ Кл

Теперь найдем поверхностную плотность этого заряда $\sigma_1$. Площадь внутренней поверхности $S_1 = 4\pi R_1^2$.

$S_1 = 4\pi (0.1)^2 = 4\pi \cdot 0.01 \approx 0.1257$ м$^2$

$\sigma_1 = \frac{q'_1}{S_1} = \frac{-2 \cdot 10^{-7}}{4\pi R_1^2} = \frac{-2 \cdot 10^{-7}}{0.1257} \approx -1.59 \cdot 10^{-6}$ Кл/м$^2 = -1.59$ мкКл/м$^2$

Ответ: Заряд на внутренней поверхности оболочки равен $-2 \cdot 10^{-7}$ Кл, а поверхностная плотность заряда равна $-1.59$ мкКл/м$^2$.

2. Заряд и поверхностная плотность заряда на внешней поверхности оболочки

Суммарный связанный заряд в диэлектрике равен нулю, поэтому заряд на внешней поверхности $q'_2$ равен по модулю и противоположен по знаку заряду на внутренней поверхности:

$q'_2 = -q'_1 = -(-2 \cdot 10^{-7}) = 2 \cdot 10^{-7}$ Кл

Найдем поверхностную плотность этого заряда $\sigma_2$. Площадь внешней поверхности $S_2 = 4\pi R_2^2$.

$S_2 = 4\pi (0.3)^2 = 4\pi \cdot 0.09 \approx 1.131$ м$^2$

$\sigma_2 = \frac{q'_2}{S_2} = \frac{2 \cdot 10^{-7}}{4\pi R_2^2} = \frac{2 \cdot 10^{-7}}{1.131} \approx 1.77 \cdot 10^{-7}$ Кл/м$^2 = 0.177$ мкКл/м$^2$

Ответ: Заряд на внешней поверхности оболочки равен $2 \cdot 10^{-7}$ Кл, а поверхностная плотность заряда равна $0.177$ мкКл/м$^2$.