Номер 561, страница 77, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Проводники и диэлектрики в электростатическом поле - номер 561, страница 77.

Условие.

561. H Два маленьких одноимённо заряженных шарика радиусом $r = 1$ см каждый подвешены на двух одинаковых нитях длиной $l = 1$ м и помещены в жидкий диэлектрик. Заряд каждого шарика $q = 4 \cdot 10^{-6}$ Кл. Масса каждого шарика $m = 16$ г. Плотность диэлектрика $\rho = 800$ кг/м$^3$. Угол между нитями $\alpha = 60^{\circ}$. Определите относительную диэлектрическую проницаемость жидкого диэлектрика.

Решение.

Дано:

$r = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

$l = 1 \text{ м}$

$q = 4 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

$m = 16 \text{ г} = 0.016 \text{ кг}$

$\rh°= 800 \text{ кг/м}^3$

$\alpha = 60^\circ$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$.

Электрическая постоянная $k_e = 9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2$.

Найти:

$\varepsilon$ - относительная диэлектрическая проницаемость.

Решение:

Рассмотрим один из шариков в положении равновесия. На него действуют четыре силы:

1. Сила тяжести $F_g$, направленная вертикально вниз.

2. Сила натяжения нити $\text{T}$, направленная вдоль нити.

3. Выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_A$, направленная вертикально вверх.

4. Сила кулоновского отталкивания $F_C$, направленная горизонтально от другого шарика.

Поскольку система находится в равновесии, векторная сумма всех сил, действующих на шарик, равна нулю:

$\vec{T} + \vec{F_g} + \vec{F_A} + \vec{F_C} = 0$

Введем систему координат с осью OY, направленной вертикально вверх, и осью OX, направленной горизонтально. Угол, который нить образует с вертикалью, равен $\theta = \alpha / 2 = 60^\circ / 2 = 30^\circ$.

Запишем условия равновесия в проекциях на оси координат:

OX: $F_C - T \sin(\theta) = 0$

OY: $T \cos(\theta) + F_A - F_g = 0$

Из этих уравнений можно выразить силу Кулона $F_C$. Из второго уравнения $T \cos(\theta) = F_g - F_A$. Разделив первое уравнение на это выражение, получим:

$\frac{T \sin(\theta)}{T \cos(\theta)} = \frac{F_C}{F_g - F_A}$

$\tan(\theta) = \frac{F_C}{F_g - F_A}$

Отсюда $F_C = (F_g - F_A) \tan(\theta)$.

Найдем силы, входящие в это выражение.

Сила тяжести: $F_g = m g = 0.016 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 0.1568 \text{ Н}$.

Объем шарика: $V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (0.01 \text{ м})^3 = \frac{4\pi}{3} \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$.

Сила Архимеда: $F_A = \rh°g V = 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot \frac{4\pi}{3} \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 \approx 0.0328 \text{ Н}$.

Теперь можем вычислить силу Кулона:

$F_C = (0.1568 \text{ Н} - 0.0328 \text{ Н}) \cdot \tan(30^\circ) = 0.124 \text{ Н} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.0716 \text{ Н}$.

Сила кулоновского взаимодействия в диэлектрике определяется по формуле:

$F_C = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon} \frac{q^2}{d^2} = k_e \frac{q^2}{\varepsilon d^2}$

где $\text{d}$ - расстояние между центрами шариков.

Из геометрии системы находим расстояние $\text{d}$:

$d = 2l \sin(\theta) = 2 \cdot 1 \text{ м} \cdot \sin(30^\circ) = 2 \cdot 1 \cdot 0.5 = 1 \text{ м}$.

Выразим искомую диэлектрическую проницаемость $\varepsilon$ из формулы для силы Кулона:

$\varepsilon = \frac{k_e q^2}{F_C d^2}$

Подставим числовые значения:

$\varepsilon = \frac{9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot (4 \cdot 10^{-6} \text{ Кл})^2}{0.0716 \text{ Н} \cdot (1 \text{ м})^2} = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 16 \cdot 10^{-12}}{0.0716} = \frac{0.144}{0.0716} \approx 2.01$

Ответ:

Относительная диэлектрическая проницаемость жидкого диэлектрика $\varepsilon \approx 2.01$.