Номер 555, страница 76, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Проводники и диэлектрики в электростатическом поле - номер 555, страница 76.

Условие.

555. [476] Проводящая сфера, заряд которой $4 \cdot 10^{-7}$ Кл, окружена проводящей оболочкой, несущей заряд $-4 \cdot 10^{-7}$ Кл. Радиус сферы 4 см, внутренний и внешний радиусы оболочки 8 и 10 см. Вычислите значения напряжённости электрического поля в точках A, B, C и D, если $r_A = 2$ см, $r_B = 5$ см, $r_C = 9$ см, $r_D = 12$ см.

Решение.

Дано:

Заряд проводящей сферы: $q_1 = 4 \cdot 10^{-7}$ Кл
Заряд проводящей оболочки: $q_{об} = -4 \cdot 10^{-7}$ Кл
Радиус сферы: $R_1 = 4$ см = $0,04$ м
Внутренний радиус оболочки: $R_2 = 8$ см = $0,08$ м
Внешний радиус оболочки: $R_3 = 10$ см = $0,10$ м
Расстояние до точки A: $r_A = 2$ см = $0,02$ м
Расстояние до точки B: $r_B = 5$ см = $0,05$ м
Расстояние до точки C: $r_C = 9$ см = $0,09$ м
Расстояние до точки D: $r_D = 12$ см = $0,12$ м
Электрическая постоянная: $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²

Найти:

Напряжённость электрического поля в точках A, B, C, D: $E_A, E_B, E_C, E_D$.

Решение:

Для определения напряжённости электрического поля в различных точках воспользуемся теоремой Гаусса. Для сферически симметричного распределения заряда напряжённость поля $\text{E}$ на расстоянии $\text{r}$ от центра определяется суммарным зарядом $Q_{вн}$, находящимся внутри воображаемой сферы (гауссовой поверхности) радиусом $\text{r}$:

$E = k \frac{Q_{вн}}{r^2}$

Рассмотрим каждую точку отдельно.

Точка A

Расстояние до точки A: $r_A = 2$ см. Эта точка находится внутри проводящей сферы ($r_A < R_1$). Внутри проводника в состоянии электростатического равновесия электрическое поле отсутствует, так как весь заряд $q_1$ распределён по его внешней поверхности. Следовательно, заряд внутри гауссовой поверхности радиусом $r_A$ равен нулю ($Q_{вн} = 0$).

$E_A = 0$

Ответ: $E_A = 0$ Н/Кл.

Точка B

Расстояние до точки B: $r_B = 5$ см. Эта точка находится в пространстве между сферой и оболочкой ($R_1 < r_B < R_2$). Гауссова поверхность радиусом $r_B$ окружает только внутреннюю сферу. Заряд, заключённый внутри этой поверхности, равен заряду сферы $q_1$.

$Q_{вн} = q_1 = 4 \cdot 10^{-7}$ Кл.

Напряжённость поля в этой точке:

$E_B = k \frac{q_1}{r_B^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{4 \cdot 10^{-7}}{(0,05)^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{4 \cdot 10^{-7}}{0,0025} = \frac{3600}{0,0025} = 1440000 = 1,44 \cdot 10^6$ Н/Кл.

Ответ: $E_B = 1,44 \cdot 10^6$ Н/Кл.

Точка C

Расстояние до точки C: $r_C = 9$ см. Эта точка находится внутри материала проводящей оболочки ($R_2 < r_C < R_3$). Так как оболочка является проводником, напряжённость электрического поля внутри неё в состоянии равновесия равна нулю.

Это также следует из теоремы Гаусса. Поле от заряженной сферы $q_1$ индуцирует на внутренней поверхности оболочки (на радиусе $R_2$) заряд $q_{внутр} = -q_1 = -4 \cdot 10^{-7}$ Кл. Суммарный заряд внутри гауссовой поверхности радиусом $r_C$ равен:

$Q_{вн} = q_1 + q_{внутр} = 4 \cdot 10^{-7} + (-4 \cdot 10^{-7}) = 0$

Следовательно, напряженность поля равна нулю:

$E_C = k \frac{Q_{вн}}{r_C^2} = 0$

Ответ: $E_C = 0$ Н/Кл.

Точка D

Расстояние до точки D: $r_D = 12$ см. Эта точка находится вне проводящей оболочки ($r_D > R_3$). Гауссова поверхность радиусом $r_D$ окружает и сферу, и оболочку. Полный заряд, заключённый внутри этой поверхности, равен сумме заряда сферы и полного заряда оболочки.

$Q_{вн} = q_1 + q_{об} = 4 \cdot 10^{-7} + (-4 \cdot 10^{-7}) = 0$ Кл.

Так как суммарный заряд внутри гауссовой поверхности равен нулю, напряжённость поля в точке D также равна нулю.

$E_D = k \frac{Q_{вн}}{r_D^2} = 0$

Ответ: $E_D = 0$ Н/Кл.