Номер 553, страница 76, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Проводники и диэлектрики в электростатическом поле - номер 553, страница 76.

Условие.

553. [474] Заряженная проводящая сфера радиусом 10 см окружена проводящей оболочкой с внутренним радиусом 15 см и внешним радиусом 25 см (рис. 115). Заряд сферы равен $10^{-8}$ Кл. Определите напряжённость электрического поля в точках A, В и С, если $r_A = 10$ см, $r_B = 20$ см, $r_C = 30$ см. Постройте график зависимости напряжённости электрического поля от расстояния от центра сферы.

Рис. 115

Решение.

Дано:

Радиус внутренней сферы, $R_1 = 10$ см = $0.1$ м

Внутренний радиус оболочки, $R_2 = 15$ см = $0.15$ м

Внешний радиус оболочки, $R_3 = 25$ см = $0.25$ м

Заряд сферы, $q = 10^{-8}$ Кл

Расстояние до точки А, $r_A = 10$ см = $0.1$ м

Расстояние до точки B, $r_B = 20$ см = $0.2$ м

Расстояние до точки C, $r_C = 30$ см = $0.3$ м

Коэффициент пропорциональности в законе Кулона, $k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²

Найти:

$E_A$, $E_B$, $E_C$ — напряжённости электрического поля в точках А, В и С.

График зависимости $E(r)$.

Решение:

Заряженная проводящая сфера создает электрическое поле. Из-за явления электростатической индукции на внутренней поверхности проводящей оболочки (на радиусе $R_2$) индуцируется заряд $q_{вн} = -q$, а на внешней поверхности (на радиусе $R_3$) — заряд $q_{внеш} = +q$, так как оболочка предполагается изначально электронейтральной.

Для определения напряженности поля $\text{E}$ в различных точках воспользуемся теоремой Гаусса. Для системы со сферической симметрией напряженность поля на расстоянии $\text{r}$ от центра определяется формулой:

$E = k \frac{q_{внутр}}{r^2}$

где $q_{внутр}$ — это суммарный заряд, заключенный внутри воображаемой сферы (поверхности Гаусса) радиусом $\text{r}$.

Определение напряжённости электрического поля в точках А, В и С

1. Точка А ($r_A = R_1 = 0.1$ м)

Точка А находится на поверхности внутренней сферы. Напряженность поля внутри проводника равна нулю, а на его поверхности с внешней стороны она определяется полным зарядом сферы. Гауссова поверхность радиусом $r_A$ охватывает заряд $q_{внутр} = q$.

$E_A = k \frac{q}{r_A^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{10^{-8}}{(0.1)^2} = \frac{90}{0.01} = 9000$ В/м.

2. Точка B ($r_B = 0.2$ м)

Точка B находится внутри материала проводящей оболочки ($R_2 < r_B < R_3$). Напряженность электростатического поля внутри проводника в состоянии равновесия всегда равна нулю.

$E_B = 0$.

С точки зрения теоремы Гаусса: поверхность радиусом $r_B$ охватывает заряд внутренней сферы $\text{q}$ и индуцированный заряд на внутренней поверхности оболочки $q_{вн} = -q$. Суммарный заряд внутри $q_{внутр} = q + (-q) = 0$, следовательно, и поле равно нулю.

3. Точка C ($r_C = 0.3$ м)

Точка C находится за пределами проводящей оболочки ($r_C > R_3$). Гауссова поверхность радиусом $r_C$ охватывает все заряды системы: заряд внутренней сферы $\text{q}$, заряд на внутренней поверхности оболочки $-q$ и заряд на внешней поверхности оболочки $+q$. Суммарный охваченный заряд $q_{внутр} = q - q + q = q$.

$E_C = k \frac{q}{r_C^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{10^{-8}}{(0.3)^2} = \frac{90}{0.09} = 1000$ В/м.

Ответ: $E_A = 9000$ В/м, $E_B = 0$ В/м, $E_C = 1000$ В/м.

Построение графика зависимости напряжённости электрического поля от расстояния

Рассмотрим поведение напряженности поля $\text{E}$ в зависимости от расстояния $\text{r}$ от центра системы:

1. Внутри сферы ($0 \le r < R_1 = 10$ см): поле отсутствует, так как это внутренняя область проводника. $E(r) = 0$.

2. Между сферой и оболочкой ($R_1 \le r < R_2 = 15$ см): поле создается только зарядом $\text{q}$ внутренней сферы. $E(r) = k \frac{q}{r^2}$. Напряженность убывает обратно пропорционально квадрату расстояния.
При $r = R_1 = 10$ см: $E(10 \text{ см}) = 9000$ В/м.
При $r \t°R_2 = 15$ см: $E(15 \text{ см}) = k \frac{q}{(0.15)^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{10^{-8}}{0.0225} = 4000$ В/м.

3. Внутри материала оболочки ($R_2 \le r < R_3 = 25$ см): поле отсутствует, так как это область проводника. $E(r) = 0$.

4. Вне оболочки ($r \ge R_3 = 25$ см): поле создается так, как будто весь заряд $\text{q}$ сосредоточен в центре. $E(r) = k \frac{q}{r^2}$. Напряженность снова убывает.
При $r = R_3 = 25$ см: $E(25 \text{ см}) = k \frac{q}{(0.25)^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{10^{-8}}{0.0625} = 1440$ В/м.
При $r \t°\infty$, $E \t°0$.

График $E(r)$ имеет следующий вид:

— На участке от $r=0$ до $r=10$ см график идет по оси абсцисс ($E=0$).

— В точке $r=10$ см происходит скачок вверх до $E=9000$ В/м.

— На участке от $r=10$ см до $r=15$ см график представляет собой кривую, убывающую по закону $1/r^2$ от 9000 В/м до 4000 В/м.

— В точке $r=15$ см происходит скачок вниз до $E=0$.

— На участке от $r=15$ см до $r=25$ см график снова идет по оси абсцисс ($E=0$).

— В точке $r=25$ см происходит скачок вверх до $E=1440$ В/м.

— При $r > 25$ см график представляет собой кривую, убывающую по закону $1/r^2$ от 1440 В/м и асимптотически приближающуюся к нулю.

Ответ: График зависимости $E(r)$ имеет разрывы при $r = R_1$, $r = R_2$ и $r = R_3$. На участках $(0, R_1)$ и $(R_2, R_3)$ напряженность равна нулю. На участках $[R_1, R_2)$ и $[R_3, \infty)$ напряженность убывает по закону $E \propt°1/r^2$.