Номер 552, страница 76, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Проводники и диэлектрики в электростатическом поле - номер 552, страница 76.

Условие.

552. [473] Постройте график зависимости напряжённости электрического поля заряженного проводящего шара радиусом 10 см от расстояния от его центра. Заряд шара равен $10^{-9}$ Кл.

Решение.

Дано:
Радиус проводящего шара, $R = 10$ см
Заряд шара, $q = 10^{-9}$ Кл
Электрическая постоянная, $k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Перевод в систему СИ:
$R = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:
Построить график зависимости напряжённости электрического поля $\text{E}$ от расстояния $\text{r}$ от центра шара, то есть $E(r)$.

Решение:

Напряжённость электрического поля, создаваемого заряженным проводящим шаром, зависит от расстояния $\text{r}$ до центра шара. Рассмотрим два случая.

1. Внутри шара и на его поверхности (при $r \le R$):
Внутри проводника в состоянии электростатического равновесия электрическое поле отсутствует, так как свободные заряды перераспределяются по поверхности таким образом, чтобы скомпенсировать любое внешнее или собственное поле. Весь заряд $\text{q}$ равномерно распределен по поверхности шара. Таким образом, для всех точек внутри шара напряжённость поля равна нулю.
При $r < R$: $E = 0$.

2. Вне шара (при $r \ge R$):
Согласно теореме Гаусса, электрическое поле вне заряженного шара эквивалентно полю точечного заряда, равного всему заряду шара $\text{q}$ и помещённого в его центр. Напряжённость поля в этом случае определяется по формуле закона Кулона для точечного заряда:
$E(r) = k \frac{|q|}{r^2}$

Таким образом, зависимость напряженности от расстояния описывается системой:
$E(r) = \begin{cases} 0, & \text{если } r < R \\ k \frac{q}{r^2}, & \text{если } r \ge R \end{cases}$

Для построения графика рассчитаем значения напряжённости в нескольких ключевых точках:

а) На поверхности шара (при $r = R = 0.1$ м):
Напряжённость поля достигает своего максимального значения. В этой точке происходит скачок от 0 (внутри) до $E_{max}$.
$E_{max} = E(R) = k \frac{|q|}{R^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{10^{-9}}{(0.1)^2} = \frac{9}{0.01} = 900 \frac{\text{В}}{\text{м}}$.

б) На расстоянии $r = 2R = 0.2$ м от центра:
$E(0.2) = k \frac{|q|}{(0.2)^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{10^{-9}}{0.04} = \frac{9}{0.04} = 225 \frac{\text{В}}{\text{м}}$.

в) На расстоянии $r = 3R = 0.3$ м от центра:
$E(0.3) = k \frac{|q|}{(0.3)^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{10^{-9}}{0.09} = \frac{9}{0.09} = 100 \frac{\text{В}}{\text{м}}$.

Описание графика E(r):
График будет состоять из двух частей.
1. На интервале $\text{r}$ от $\text{0}$ до $0.1$ м (не включая точку $r = 0.1$ м) график представляет собой отрезок, лежащий на оси абсцисс ($E=0$).
2. В точке $r = 0.1$ м значение напряжённости скачкообразно увеличивается от $\text{0}$ до $900$ В/м.
3. При $r \ge 0.1$ м график является кривой, убывающей по закону $E \sim 1/r^2$. Эта кривая начинается в точке с координатами $(0.1; 900)$ и асимптотически приближается к оси абсцисс при увеличении $\text{r}$.

Ответ: График зависимости напряженности поля $\text{E}$ от расстояния $\text{r}$ представляет собой линию, совпадающую с осью расстояний от $r=0$ до $r=0.1$ м, в точке $r=0.1$ м напряженность скачком возрастает до $900$ В/м, а при $r > 0.1$ м убывает обратно пропорционально квадрату расстояния ($E = 9/r^2$).

(Визуальное представление графика)

E, В/м
^
|
900 +-------
| |
| ' .
| ' `
| ' .
| ' ` .
225 +-------'-----------.----
| ' `
0 +-------|--------------|----|---> r, м
0.1 0.2 0.3