Номер 576, страница 79, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Потенциал электростатического поля. Разность потенциалов - номер 576, страница 79.

Условие.

576. [490] Поток электронов, ускоренных разностью потенциалов $1200\text{ В}$, влетает в пространство между двумя параллельными пластинами длиной $5\text{ см}$ каждая (рис. 122). Определите разность потенциалов между пластинами, если из пространства между ними вылетает половина электронов. Расстояние между пластинами $0,5\text{ см}$. Релятивистские эффекты не учитывайте.

Рис. 122

Решение.

Дано:

Ускоряющая разность потенциалов: $U_1 = 1200$ В
Длина пластин: $L = 5$ см $= 0.05$ м
Расстояние между пластинами: $d = 0.5$ см $= 0.005$ м
Масса электрона: $m_e \approx 9.1 \times 10^{-31}$ кг
Заряд электрона: $e \approx 1.6 \times 10^{-19}$ Кл

Найти:

Разность потенциалов между пластинами $U_2$.

Решение:

1. Найдем начальную скорость электронов $v_x$, с которой они влетают в пространство между пластинами. Электроны ускоряются разностью потенциалов $U_1$. По закону сохранения энергии, работа электрического поля равна изменению кинетической энергии электрона:

$eU_1 = \frac{m_e v_x^2}{2}$

Отсюда выразим квадрат скорости:

$v_x^2 = \frac{2eU_1}{m_e}$

2. В пространстве между пластинами на электрон действует однородное электрическое поле, направленное перпендикулярно начальной скорости. Движение электрона можно разложить на две составляющие:

а) Движение вдоль оси X (параллельно пластинам): равномерное, так как в этом направлении сила не действует. Время пролета электрона между пластинами равно:

$t = \frac{L}{v_x}$

б) Движение вдоль оси Y (перпендикулярно пластинам): равноускоренное под действием силы $F_y = eE$, где $\text{E}$ - напряженность электрического поля между пластинами. Напряженность связана с разностью потенциалов $U_2$ и расстоянием $\text{d}$ как $E = \frac{U_2}{d}$.

Ускорение, сообщаемое электрону в вертикальном направлении:

$a_y = \frac{F_y}{m_e} = \frac{eE}{m_e} = \frac{eU_2}{m_e d}$

3. Условие, что из пространства между пластинами вылетает половина электронов, означает, что пучок электронов занимает некоторую ширину при входе. Крайние электроны, которые еще успевают вылететь, должны сместиться по вертикали на расстояние, не превышающее половины расстояния между пластинами, то есть на $y = \frac{d}{2}$.

Смещение по оси Y за время $\text{t}$ при начальной вертикальной скорости, равной нулю, определяется формулой:

$y = \frac{a_y t^2}{2}$

Подставим в эту формулу $y = \frac{d}{2}$, а также выражения для $a_y$ и $\text{t}$:

$\frac{d}{2} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{eU_2}{m_e d}\right) \cdot \left(\frac{L}{v_x}\right)^2 = \frac{eU_2 L^2}{2 m_e d v_x^2}$

4. Теперь подставим в полученное выражение найденное ранее значение для $v_x^2$:

$\frac{d}{2} = \frac{eU_2 L^2}{2 m_e d \left(\frac{2eU_1}{m_e}\right)} = \frac{eU_2 L^2 m_e}{4 m_e d e U_1}$

Сократим массу $m_e$ и заряд $\text{e}$ электрона:

$\frac{d}{2} = \frac{U_2 L^2}{4 d U_1}$

Выразим искомую разность потенциалов $U_2$:

$U_2 = \frac{d}{2} \cdot \frac{4 d U_1}{L^2} = \frac{2 d^2 U_1}{L^2}$

5. Подставим числовые значения:

$U_2 = \frac{2 \cdot (0.005 \text{ м})^2 \cdot 1200 \text{ В}}{(0.05 \text{ м})^2} = \frac{2 \cdot 25 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 \cdot 1200 \text{ В}}{25 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2} = \frac{2 \cdot 1200 \cdot 10^{-6}}{10^{-4}} \text{ В} = 2400 \cdot 10^{-2} \text{ В} = 24 \text{ В}$

Ответ: разность потенциалов между пластинами равна 24 В.