Номер 578, страница 80, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Потенциал электростатического поля. Разность потенциалов - номер 578, страница 80.

Условие.

578. [492] Скорость электрона в точке поля, потенциал которой -10 В, равна нулю. Какую скорость будет иметь электрон в бесконечно удалённой точке, в которой потенциал можно считать равным нулю?

Решение.

Дано:

Потенциал в начальной точке, $ \varphi_1 = -10 $ В
Начальная скорость электрона, $ v_1 = 0 $ м/с
Потенциал в конечной точке, $ \varphi_2 = 0 $ В
Заряд электрона, $ q = -e \approx -1.6 \cdot 10^{-19} $ Кл
Масса электрона, $ m_e \approx 9.1 \cdot 10^{-31} $ кг

Найти:

Конечную скорость электрона, $ v_2 $.

Решение:

Для решения этой задачи применим закон сохранения энергии для электрона, движущегося в электростатическом поле. Полная механическая энергия электрона, которая является суммой его кинетической и потенциальной энергий, сохраняется, так как электростатическая сила является консервативной.

Полная энергия $ E $ в любой точке поля равна:

$ E = K + U = \frac{m_e v^2}{2} + q \varphi $

где $ K $ – кинетическая энергия, $ U $ – потенциальная энергия, $ m_e $ – масса электрона, $ v $ – его скорость, $ q $ – заряд электрона, а $ \varphi $ – потенциал поля в данной точке.

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия электрона в начальной точке (обозначим ее индексом 1) равна его полной энергии в конечной, бесконечно удаленной точке (индекс 2):

$ E_1 = E_2 $

$ \frac{m_e v_1^2}{2} + q \varphi_1 = \frac{m_e v_2^2}{2} + q \varphi_2 $

Из условия задачи известно, что начальная скорость электрона $ v_1 = 0 $, а потенциал в конечной точке $ \varphi_2 = 0 $. Заряд электрона равен $ q = -e $. Подставим эти значения в уравнение закона сохранения энергии:

$ \frac{m_e \cdot 0^2}{2} + (-e) \varphi_1 = \frac{m_e v_2^2}{2} + (-e) \cdot 0 $

$ -e \varphi_1 = \frac{m_e v_2^2}{2} $

Из этого соотношения выразим искомую скорость $ v_2 $:

$ v_2^2 = \frac{-2e \varphi_1}{m_e} $

$ v_2 = \sqrt{\frac{-2e \varphi_1}{m_e}} $

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:

$ v_2 = \sqrt{\frac{-2 \cdot (1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (-10 \text{ В})}{9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}}} $

$ v_2 = \sqrt{\frac{2 \cdot 1.6 \cdot 10 \cdot 10^{-19}}{9.1 \cdot 10^{-31}}} \text{ м/с} = \sqrt{\frac{3.2 \cdot 10^{-18}}{9.1 \cdot 10^{-31}}} \text{ м/с} $

$ v_2 \approx \sqrt{0.3516 \cdot 10^{13}} \text{ м/с} = \sqrt{3.516 \cdot 10^{12}} \text{ м/с} $

$ v_2 \approx 1.875 \cdot 10^6 $ м/с

Ответ: Скорость электрона в бесконечно удаленной точке будет приблизительно равна $ 1.88 \cdot 10^6 $ м/с.