Номер 585, страница 81, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Потенциал электростатического поля. Разность потенциалов - номер 585, страница 81.

Условие.

585. H Одинаковые одноимённые точечные заряды $4 \cdot 10^{-7}$ Кл расположены в двух вершинах равностороннего треугольника со стороной 1 м. Определите значения напряжённости и потенциала поля в третьей вершине треугольника (рис. 127).

Рис. 127

Решение.

Дано:

$q_1 = q_2 = q = 4 \cdot 10^{-7}$ Кл

$a = 1$ м

Электрическая постоянная $k \approx 9 \cdot 10^9$ Н⋅м²/Кл²

Найти:

$E_A$ — напряженность поля в третьей вершине

$\phi_A$ — потенциал поля в третьей вершине

Решение:

Определение напряженности поля

Напряженность электрического поля является векторной величиной. Согласно принципу суперпозиции полей, результирующая напряженность $\vec{E}_A$ в третьей вершине треугольника (точка А) равна векторной сумме напряженностей полей $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$, создаваемых зарядами $q_1$ и $q_2$ соответственно:

$\vec{E}_A = \vec{E}_1 + \vec{E}_2$

Модуль напряженности поля, создаваемого точечным зарядом, определяется по формуле:

$E = k \frac{|q|}{r^2}$

Поскольку заряды одинаковы ($q_1 = q_2 = q$) и расстояния от зарядов до точки А равны стороне равностороннего треугольника ($r_1 = r_2 = a$), то модули напряженностей $E_1$ и $E_2$ будут равны:

$E_1 = E_2 = k \frac{q}{a^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{4 \cdot 10^{-7}}{1^2} = 36 \cdot 10^2 = 3600$ В/м.

Так как заряды одноимённые (будем считать их положительными), векторы напряженности $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ направлены от зарядов вдоль сторон треугольника. Угол $\alpha$ между этими векторами равен углу при вершине равностороннего треугольника, то есть $\alpha = 60^\circ$.

Модуль результирующей напряженности $E_A$ найдем по теореме косинусов для векторов:

$E_A = \sqrt{E_1^2 + E_2^2 + 2E_1E_2 \cos \alpha}$

Подставляя $E_1 = E_2$ и $\cos 60^\circ = 0.5$, получаем:

$E_A = \sqrt{E_1^2 + E_1^2 + 2E_1^2 \cos 60^\circ} = \sqrt{2E_1^2 + 2E_1^2 \cdot 0.5} = \sqrt{2E_1^2 + E_1^2} = \sqrt{3E_1^2} = E_1\sqrt{3}$

Вычислим числовое значение:

$E_A = 3600 \cdot \sqrt{3} \approx 3600 \cdot 1.732 \approx 6235$ В/м.

Ответ: $E_A = 3600\sqrt{3} \text{ В/м} \approx 6235 \text{ В/м}$.

Определение потенциала поля

Потенциал электрического поля является скалярной величиной. Результирующий потенциал $\phi_A$ в точке А равен алгебраической сумме потенциалов $\phi_1$ и $\phi_2$, создаваемых каждым из зарядов:

$\phi_A = \phi_1 + \phi_2$

Потенциал поля точечного заряда вычисляется по формуле:

$\phi = k \frac{q}{r}$

Поскольку заряды и расстояния одинаковы, потенциалы, создаваемые ими в точке А, также равны:

$\phi_1 = \phi_2 = k \frac{q}{a} = 9 \cdot 10^9 \frac{4 \cdot 10^{-7}}{1} = 36 \cdot 10^2 = 3600$ В.

Тогда суммарный потенциал равен:

$\phi_A = \phi_1 + \phi_2 = 2 \cdot \phi_1 = 2 \cdot 3600 = 7200$ В.

Ответ: $\phi_A = 7200 \text{ В}$.