Номер 588, страница 81, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Потенциал электростатического поля. Разность потенциалов - номер 588, страница 81.

Условие.

588. H В центр металлической сферической оболочки с внутренним радиусом $R_1$ и внешним $R_2$ помещают заряд $\text{q}$. Определите напряжённость и потенциал поля как функции расстояния от центра сферы.

Решение.

Дано:

Металлическая сферическая оболочка с внутренним радиусом $R_1$ и внешним радиусом $R_2$.

В центре сферы находится точечный заряд $\text{q}$.

Найти:

Напряжённость электрического поля $\text{E}$ и потенциал $\varphi$ как функции расстояния $\text{r}$ от центра сферы.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся теоремой Гаусса и свойствами проводников в электростатическом поле. Обозначим диэлектрическую постоянную как $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$.

Заряд $\text{q}$ в центре вызовет перераспределение зарядов в металлической оболочке (явление электростатической индукции). На внутреннюю поверхность оболочки (с радиусом $R_1$) притянется заряд, равный по модулю и противоположный по знаку центральному, то есть $-q$. Так как оболочка изначально была электронейтральна (если не указано иное), то по закону сохранения заряда на её внешней поверхности (с радиусом $R_2$) появится заряд $+q$.

Рассмотрим напряжённость и потенциал поля в трёх различных областях.

1. Внутри полости ($r < R_1$)

Для нахождения напряжённости поля $\text{E}$ воспользуемся теоремой Гаусса для сферической поверхности радиусом $r < R_1$. Заряд, заключённый внутри этой поверхности, равен $\text{q}$.

$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0}$

Отсюда напряжённость поля:

$E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2} = k\frac{q}{r^2}$

Потенциал $\varphi(r)$ найдём позже, исходя из условия непрерывности потенциала на границах областей и приняв $\varphi(\infty) = 0$.

2. Внутри проводника ($R_1 \le r \le R_2$)

Внутри проводника в состоянии электростатического равновесия напряжённость электрического поля равна нулю.

$E(r) = 0$

Проверим это по теореме Гаусса. Для сферической поверхности радиусом $R_1 < r < R_2$ суммарный заряд внутри неё равен $q + (-q) = 0$. Следовательно, и напряжённость поля равна нулю.Поскольку $E = 0$, потенциал во всех точках проводника одинаков и постоянен.

$\varphi(r) = \text{const}$

3. Вне оболочки ($r > R_2$)

Применим теорему Гаусса для сферической поверхности радиусом $r > R_2$. Полный заряд, заключённый внутри этой поверхности, равен сумме центрального заряда, заряда на внутренней и на внешней поверхностях оболочки: $q_{полн} = q + (-q) + q = q$.

$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0}$

Следовательно, напряжённость поля вне оболочки:

$E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2} = k\frac{q}{r^2}$

Потенциал поля вне оболочки, при условии что $\varphi(\infty) = 0$, равен:

$\varphi(r) = \int_r^\infty E(r')dr' = \int_r^\infty k\frac{q}{(r')^2}dr' = k\frac{q}{r}$

Определение потенциалов во всех областях

Теперь, зная потенциал для $r > R_2$, мы можем найти его для остальных областей, используя свойство непрерывности потенциала.

Потенциал на внешней поверхности оболочки ($r=R_2$):

$\varphi(R_2) = k\frac{q}{R_2}$

Так как внутри проводника ($R_1 \le r \le R_2$) потенциал постоянен, он равен потенциалу на его поверхности:

$\varphi(r) = k\frac{q}{R_2}$ при $R_1 \le r \le R_2$

Для области внутри полости ($r < R_1$) потенциал можно найти как сумму потенциала на внутренней стенке ($r=R_1$) и разности потенциалов между точкой на расстоянии $\text{r}$ и стенкой:

$\varphi(R_1) = k\frac{q}{R_2}$

$\varphi(r) = \varphi(R_1) + \int_r^{R_1} E(r')dr' = k\frac{q}{R_2} + \int_r^{R_1} k\frac{q}{(r')^2}dr' = k\frac{q}{R_2} + \left[-k\frac{q}{r'}\right]_r^{R_1} = k\frac{q}{R_2} - k\frac{q}{R_1} + k\frac{q}{r}$

Таким образом, для $r < R_1$:

$\varphi(r) = k\frac{q}{r} + kq\left(\frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_1}\right)$

Ответ:

Напряжённость электрического поля $\text{E}$ как функция расстояния $\text{r}$ от центра:

при $r < R_1$: $E(r) = k\frac{q}{r^2}$
при $R_1 \le r \le R_2$: $E(r) = 0$
при $r > R_2$: $E(r) = k\frac{q}{r^2}$

Потенциал электрического поля $\varphi$ как функция расстояния $\text{r}$ от центра (при условии $\varphi(\infty)=0$):

при $r < R_1$: $\varphi(r) = k\left(\frac{q}{r} + \frac{q}{R_2} - \frac{q}{R_1}\right)$
при $R_1 \le r \le R_2$: $\varphi(r) = k\frac{q}{R_2}$
при $r > R_2$: $\varphi(r) = k\frac{q}{r}$

где $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$.