Номер 592, страница 82, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Потенциал электростатического поля. Разность потенциалов - номер 592, страница 82.

Условие.

592. [932] Определите потенциал на середине отрезка, соединяющего две точки поля точечного заряда, если потенциалы в этих точках равны 1 и 4 В.

Решение.

Дано:

Потенциал в первой точке: $\phi_1 = 1$ В

Потенциал во второй точке: $\phi_2 = 4$ В

Найти:

Потенциал на середине отрезка: $\phi_с - ?$

Решение:

Потенциал $\phi$, создаваемый точечным зарядом $\text{q}$ на расстоянии $\text{r}$ от него, определяется формулой:

$\phi = k \frac{q}{r}$

где $\text{k}$ - электростатическая постоянная.

Пусть две точки поля находятся на расстояниях $r_1$ и $r_2$ от заряда $\text{q}$. Тогда их потенциалы равны:

$\phi_1 = k \frac{q}{r_1} = 1$ В

$\phi_2 = k \frac{q}{r_2} = 4$ В

Из этих соотношений можно выразить расстояния $r_1$ и $r_2$:

$r_1 = \frac{kq}{\phi_1}$

$r_2 = \frac{kq}{\phi_2}$

Положение середины отрезка, соединяющего эти две точки, зависит от их взаимного расположения относительно заряда $\text{q}$. Пусть заряд $\text{q}$ находится в начале координат, а положения двух точек задаются радиус-векторами $\vec{r_1}$ и $\vec{r_2}$. Тогда радиус-вектор середины отрезка $\vec{r_с}$ равен:

$\vec{r_с} = \frac{\vec{r_1} + \vec{r_2}}{2}$

Расстояние от заряда до середины отрезка $r_с$ равно модулю этого вектора:

$r_с = |\vec{r_с}| = \frac{1}{2} |\vec{r_1} + \vec{r_2}| = \frac{1}{2}\sqrt{r_1^2 + r_2^2 + 2r_1r_2\cos\theta}$

где $\theta$ — угол между векторами $\vec{r_1}$ и $\vec{r_2}$.

Потенциал в этой точке $\phi_с = \frac{kq}{r_с}$. Подставив выражения для $r_1$, $r_2$ и $r_с$, получим:

$\phi_с = \frac{2kq}{\sqrt{(\frac{kq}{\phi_1})^2 + (\frac{kq}{\phi_2})^2 + 2\frac{kq}{\phi_1}\frac{kq}{\phi_2}\cos\theta}} = \frac{2}{\sqrt{\frac{1}{\phi_1^2} + \frac{1}{\phi_2^2} + \frac{2\cos\theta}{\phi_1\phi_2}}}$

Поскольку в условии задачи не задан угол $\theta$, задача имеет однозначное решение только при определённой геометрии. В таких задачах обычно предполагается, что точки лежат на одной силовой линии, то есть на одном луче, исходящем из заряда. Это соответствует случаю, когда заряд $\text{q}$ и обе точки лежат на одной прямой, причем точки находятся по одну сторону от заряда (иначе на отрезке между ними потенциал обратился бы в бесконечность). Для такой конфигурации векторы $\vec{r_1}$ и $\vec{r_2}$ сонаправлены, и угол между ними $\theta = 0$, а $\cos\theta = 1$.

В этом случае формула для потенциала в середине отрезка упрощается:

$\phi_с = \frac{2}{\sqrt{\frac{1}{\phi_1^2} + \frac{1}{\phi_2^2} + \frac{2}{\phi_1\phi_2}}} = \frac{2}{\sqrt{(\frac{1}{\phi_1} + \frac{1}{\phi_2})^2}} = \frac{2}{\frac{1}{\phi_1} + \frac{1}{\phi_2}}$

Это выражение можно переписать в виде:

$\phi_с = \frac{2\phi_1\phi_2}{\phi_1 + \phi_2}$

Подставим числовые значения:

$\phi_с = \frac{2 \cdot 1 \text{ В} \cdot 4 \text{ В}}{1 \text{ В} + 4 \text{ В}} = \frac{8}{5} \text{ В} = 1.6 \text{ В}$

Ответ: потенциал на середине отрезка равен 1.6 В.