Номер 598, страница 82, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Потенциал электростатического поля. Разность потенциалов - номер 598, страница 82.

Условие.

598. [938 ]В трёх вершинах квадрата со стороной 10 см находятся три положительных точечных заряда 1 нКл каждый. Определите напряжённость и потенциал электрического поля в четвёртой вершине квадрата.

Решение.

Дано:

Сторона квадрата $a = 10 \text{ см}$

Величина зарядов $q_1 = q_2 = q_3 = q = 1 \text{ нКл}$

Электрическая постоянная $k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Перевод в систему СИ:

$a = 0.1 \text{ м}$

$q = 1 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

Найти:

Напряжённость электрического поля $\text{E}$ - ?

Потенциал электрического поля $\varphi$ - ?

Решение:

Расположим квадрат в системе координат так, чтобы три заряда $\text{q}$ находились в вершинах с координатами (0, a), (a, 0) и (0, 0). Тогда четвёртая вершина, в которой требуется определить параметры поля, будет иметь координаты P(a, a).

Определение потенциала электрического поля

Согласно принципу суперпозиции, потенциал электрического поля, создаваемого системой точечных зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым зарядом в отдельности. Потенциал поля точечного заряда вычисляется по формуле $\varphi = \frac{kq}{r}$, где $\text{r}$ — расстояние от заряда до рассматриваемой точки.

Вычислим расстояния от каждого из трёх зарядов до точки P(a, a):

1. Расстояние от заряда в точке (a, 0) до точки P: $r_1 = a$.

2. Расстояние от заряда в точке (0, a) до точки P: $r_2 = a$.

3. Расстояние от заряда в точке (0, 0) до точки P (диагональ квадрата): $r_3 = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Теперь найдем суммарный потенциал в точке P:

$\varphi_{общ} = \varphi_1 + \varphi_2 + \varphi_3 = \frac{kq}{r_1} + \frac{kq}{r_2} + \frac{kq}{r_3} = \frac{kq}{a} + \frac{kq}{a} + \frac{kq}{a\sqrt{2}}$

$\varphi_{общ} = \frac{kq}{a}(2 + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{kq}{a}(2 + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\varphi_{общ} = \frac{9 \cdot 10^9 \frac{Н \cdot м^2}{Кл^2} \cdot 1 \cdot 10^{-9} Кл}{0.1 м} \cdot (2 + \frac{\sqrt{2}}{2}) \approx 90 \cdot (2 + \frac{1.414}{2}) \approx 90 \cdot (2 + 0.707) = 90 \cdot 2.707 \approx 243.6 В$

Ответ: Потенциал электрического поля в четвёртой вершине квадрата составляет приблизительно 244 В.

Определение напряжённости электрического поля

Напряжённость электрического поля также подчиняется принципу суперпозиции: результирующая напряжённость в точке является векторной суммой напряжённостей, создаваемых каждым зарядом. Модуль напряжённости поля точечного заряда определяется формулой $E = \frac{k|q|}{r^2}$. Вектор напряжённости $\vec{E}$ направлен от положительного заряда.

Найдём векторы напряжённости от каждого заряда в точке P(a, a):

1. Заряд в точке (a, 0) создаёт поле $\vec{E}_1$, направленное вдоль оси Y. Его модуль: $E_1 = \frac{kq}{a^2}$.

2. Заряд в точке (0, a) создаёт поле $\vec{E}_2$, направленное вдоль оси X. Его модуль: $E_2 = \frac{kq}{a^2}$.

3. Заряд в точке (0, 0) создаёт поле $\vec{E}_3$, направленное по диагонали от начала координат к точке P. Его модуль: $E_3 = \frac{kq}{r_3^2} = \frac{kq}{(a\sqrt{2})^2} = \frac{kq}{2a^2}$.

Результирующая напряжённость $\vec{E}_{общ} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3$.

Векторы $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ равны по модулю и перпендикулярны друг другу. Их векторная сумма $\vec{E}_{12}$ направлена по диагонали квадрата, так же как и вектор $\vec{E}_3$. Модуль вектора $\vec{E}_{12}$ найдём по теореме Пифагора:

$E_{12} = \sqrt{E_1^2 + E_2^2} = \sqrt{(\frac{kq}{a^2})^2 + (\frac{kq}{a^2})^2} = \sqrt{2(\frac{kq}{a^2})^2} = \frac{kq}{a^2}\sqrt{2}$

Так как векторы $\vec{E}_{12}$ и $\vec{E}_3$ сонаправлены, модуль результирующего вектора $\vec{E}_{общ}$ равен сумме их модулей:

$E_{общ} = E_{12} + E_3 = \frac{kq}{a^2}\sqrt{2} + \frac{kq}{2a^2} = \frac{kq}{a^2}(\sqrt{2} + \frac{1}{2})$

Подставим числовые значения:

$E_{общ} = \frac{9 \cdot 10^9 \frac{Н \cdot м^2}{Кл^2} \cdot 1 \cdot 10^{-9} Кл}{(0.1 м)^2} \cdot (\sqrt{2} + \frac{1}{2}) = \frac{9}{0.01} \cdot (\sqrt{2} + 0.5) \approx 900 \cdot (1.414 + 0.5) = 900 \cdot 1.914 \approx 1722.6 \frac{В}{м}$

Ответ: Напряжённость электрического поля в четвёртой вершине квадрата составляет приблизительно 1723 В/м (или 1.72 кВ/м).