Номер 600, страница 82, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Потенциал электростатического поля. Разность потенциалов - номер 600, страница 82.

Условие.

600. [940] Маленький шарик массой $1 \text{ г}$ с зарядом $0,15 \text{ мкКл}$ движется к закреплённой сфере из точки, удалённой на большое расстояние от сферы. Заряд сферы $30 \text{ мкКл}$, её радиус $5 \text{ см}$. При какой минимальной скорости шарик достигнет поверхности сферы?

Решение.

Дано:

Масса шарика $m = 1 \text{ г} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$
Заряд шарика $q = 0,15 \text{ мкКл} = 0,15 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 1,5 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}$
Заряд сферы $Q = 30 \text{ мкКл} = 30 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 3 \cdot 10^{-5} \text{ Кл}$
Радиус сферы $R = 5 \text{ см} = 5 \cdot 10^{-2} \text{ м}$
Коэффициент пропорциональности в законе Кулона $k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Найти:

Минимальную начальную скорость шарика $v_{min}$

Решение:

Для решения задачи применим закон сохранения энергии. Так как на шарик действует только консервативная сила Кулона (силой тяжести можно пренебречь), полная механическая энергия системы "шарик-сфера" сохраняется.

Полная механическая энергия $\text{E}$ равна сумме кинетической $\text{K}$ и потенциальной $\text{U}$ энергий: $E = K + U$.

В начальном состоянии (1) шарик находится "на большом расстоянии от сферы", что означает $r_1 \rightarrow \infty$. Потенциальная энергия взаимодействия двух зарядов на бесконечном расстоянии друг от друга принимается равной нулю: $U_1 = k \frac{qQ}{r_1} \rightarrow 0$. Начальная кинетическая энергия шарика равна $K_1 = \frac{m v_{min}^2}{2}$, где $v_{min}$ — искомая минимальная скорость.

Таким образом, полная начальная энергия системы:

$E_1 = K_1 + U_1 = \frac{m v_{min}^2}{2} + 0 = \frac{m v_{min}^2}{2}$

В конечном состоянии (2) шарик достигает поверхности сферы. Расстояние между центрами шарика и сферы становится равным радиусу сферы $r_2 = R$. Минимальная начальная скорость подразумевает, что шарик остановится в момент достижения поверхности сферы, то есть его конечная скорость будет равна нулю: $v_2 = 0$. Следовательно, конечная кинетическая энергия $K_2 = 0$.

Потенциальная энергия взаимодействия шарика и сферы в конечном состоянии: $U_2 = k \frac{qQ}{R}$.

Полная конечная энергия системы:

$E_2 = K_2 + U_2 = 0 + k \frac{qQ}{R} = k \frac{qQ}{R}$

По закону сохранения энергии $E_1 = E_2$:

$\frac{m v_{min}^2}{2} = k \frac{qQ}{R}$

Выразим из этого уравнения $v_{min}$:

$v_{min} = \sqrt{\frac{2k qQ}{mR}}$

Подставим числовые значения в СИ:

$v_{min} = \sqrt{\frac{2 \cdot 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot 1,5 \cdot 10^{-7} \text{ Кл} \cdot 3 \cdot 10^{-5} \text{ Кл}}{10^{-3} \text{ кг} \cdot 5 \cdot 10^{-2} \text{ м}}}$

$v_{min} = \sqrt{\frac{81 \cdot 10^{-3}}{5 \cdot 10^{-5}}} = \sqrt{16,2 \cdot 10^2} = \sqrt{1620} \approx 40,25 \text{ м/с}$

Ответ: минимальная скорость, при которой шарик достигнет поверхности сферы, составляет приблизительно $40,25 \text{ м/с}$.