Номер 594, страница 82, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Потенциал электростатического поля. Разность потенциалов - номер 594, страница 82.

Условие.

594. [934] Капли ртути, заряженные до $4 \cdot 10^{-12}$ и $5 \cdot 10^{-13}$ Кл и имеющие радиусы 2 и 3,82 мм соответственно, соединяются в одну каплю. Определите потенциал этой большой капли.

Решение.

Дано:

$q_1 = 4 \cdot 10^{-12}$ Кл

$q_2 = 5 \cdot 10^{-13}$ Кл

$r_1 = 2$ мм

$r_2 = 3,82$ мм

Перевод в систему СИ:

$q_2 = 0,5 \cdot 10^{-12}$ Кл

$r_1 = 2 \cdot 10^{-3}$ м

$r_2 = 3,82 \cdot 10^{-3}$ м

Коэффициент пропорциональности в законе Кулона $k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{Н \cdot м^2}{Кл^2}$.

Найти:

$\phi$ - потенциал большой капли.

Решение:

При слиянии двух проводящих капель в одну большую, общий электрический заряд и общий объем сохраняются. Будем считать капли сферическими.

1. Найдем суммарный заряд $\text{Q}$ образовавшейся капли. Согласно закону сохранения электрического заряда:

$Q = q_1 + q_2$

$Q = 4 \cdot 10^{-12} \text{ Кл} + 5 \cdot 10^{-13} \text{ Кл} = 4 \cdot 10^{-12} \text{ Кл} + 0,5 \cdot 10^{-12} \text{ Кл} = 4,5 \cdot 10^{-12} \text{ Кл}$

2. Найдем радиус $\text{R}$ большой капли. Поскольку ртуть является несжимаемой жидкостью, объем $\text{V}$ большой капли равен сумме объемов $V_1$ и $V_2$ исходных капель.

Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.

$V = V_1 + V_2$

$\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi r_1^3 + \frac{4}{3}\pi r_2^3$

Сократив общий множитель $\frac{4}{3}\pi$, получим:

$R^3 = r_1^3 + r_2^3$

Отсюда радиус большой капли:

$R = \sqrt[3]{r_1^3 + r_2^3}$

Подставим числовые значения радиусов в системе СИ:

$R^3 = (2 \cdot 10^{-3})^3 + (3,82 \cdot 10^{-3})^3 = 8 \cdot 10^{-9} + (3,82)^3 \cdot 10^{-9} \approx 8 \cdot 10^{-9} + 55,74 \cdot 10^{-9} = 63,74 \cdot 10^{-9} \text{ м}^3$

Вычислим радиус $\text{R}$:

$R = \sqrt[3]{63,74 \cdot 10^{-9}} \text{ м} \approx 3,995 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Можно заметить, что $2^3 + 3,82^3 = 63,74 \approx 64 = 4^3$. Следовательно, радиус образовавшейся капли очень близок к $\text{4}$ мм. Для дальнейших расчетов примем $R \approx 4 \cdot 10^{-3}$ м.

3. Потенциал $\phi$ уединенного проводящего шара (капли) на его поверхности определяется формулой:

$\phi = k \frac{Q}{R}$

Подставим найденные значения заряда $\text{Q}$ и радиуса $\text{R}$:

$\phi \approx 9 \cdot 10^9 \frac{Н \cdot м^2}{Кл^2} \cdot \frac{4,5 \cdot 10^{-12} \text{ Кл}}{4 \cdot 10^{-3} \text{ м}}$

$\phi \approx \frac{9 \cdot 4,5}{4} \cdot 10^{9-12-(-3)} \text{ В} = \frac{40,5}{4} \cdot 10^0 \text{ В} = 10,125 \text{ В}$

Ответ: $10,125$ В.