Номер 589, страница 81, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Потенциал электростатического поля. Разность потенциалов - номер 589, страница 81.

Условие.

589. H Проводящую сферу радиусом $R_1 = 20 \text{ см}$ окружили тонкой сферической оболочкой радиусом $R_2 = 40 \text{ см}$ с зарядом $q = 2 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$ (рис. 129). Сферу заземлили. Определите заряд сферы и потенциал оболочки после заземления.

Рис. 129

Решение.

Дано:

$R_1 = 20 \text{ см}$

$R_2 = 40 \text{ см}$

$q = 2 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

$R_1 = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$
$R_2 = 40 \text{ см} = 0.4 \text{ м}$

Найти:

$q_1$ — заряд сферы

$\phi_2$ — потенциал оболочки

Решение:

Определение заряда сферы

Внутренняя проводящая сфера заземлена, это означает, что ее электростатический потенциал равен нулю, то есть $\phi_1 = 0$. Потенциал на поверхности внутренней сферы создается как ее собственным зарядом $q_1$, так и зарядом $\text{q}$ внешней сферической оболочки. Согласно принципу суперпозиции полей, потенциал на поверхности внутренней сферы равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых этими двумя зарядами.

Потенциал, создаваемый на поверхности сферы радиусом $R_1$ ее собственным зарядом $q_1$, равен:

$\phi_{1,собств} = k \frac{q_1}{R_1}$

где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ — постоянная Кулона.

Потенциал поля, создаваемого заряженной сферической оболочкой радиуса $R_2$ с зарядом $\text{q}$, в любой точке внутри этой оболочки (при $r \le R_2$) постоянен и равен потенциалу на ее поверхности. Таким образом, потенциал, создаваемый внешней оболочкой в месте расположения внутренней сферы, равен:

$\phi_{1,внешн} = k \frac{q}{R_2}$

Суммарный потенциал на внутренней сфере:

$\phi_1 = \phi_{1,собств} + \phi_{1,внешн} = k \frac{q_1}{R_1} + k \frac{q}{R_2}$

Используя условие заземления $\phi_1 = 0$, получаем:

$k \frac{q_1}{R_1} + k \frac{q}{R_2} = 0$

$\frac{q_1}{R_1} = - \frac{q}{R_2}$

Отсюда находим индуцированный заряд на внутренней сфере $q_1$:

$q_1 = -q \frac{R_1}{R_2}$

Подставим числовые значения:

$q_1 = -(2 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}) \cdot \frac{0.2 \text{ м}}{0.4 \text{ м}} = -(2 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}) \cdot 0.5 = -1 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

Ответ: Заряд сферы равен $-1 \cdot 10^{-6}$ Кл (или $-1$ мкКл).

Определение потенциала оболочки

Потенциал на поверхности внешней оболочки $\phi_2$ также определяется по принципу суперпозиции. Он складывается из потенциала, создаваемого ее собственным зарядом $\text{q}$, и потенциала, создаваемого зарядом $q_1$ внутренней сферы.

Потенциал, создаваемый на поверхности оболочки ее собственным зарядом $\text{q}$, равен:

$\phi_{2,собств} = k \frac{q}{R_2}$

Потенциал, создаваемый зарядом $q_1$ внутренней сферы на расстоянии $R_2$ (то есть на поверхности внешней оболочки), равен:

$\phi_{2,внутр} = k \frac{q_1}{R_2}$

Суммарный потенциал на внешней оболочке:

$\phi_2 = \phi_{2,собств} + \phi_{2,внутр} = k \frac{q}{R_2} + k \frac{q_1}{R_2} = k \frac{q + q_1}{R_2}$

Подставим известные значения и найденное значение заряда $q_1$:

$\phi_2 = (9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}) \cdot \frac{2 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} + (-1 \cdot 10^{-6} \text{ Кл})}{0.4 \text{ м}}$

$\phi_2 = (9 \cdot 10^9) \cdot \frac{1 \cdot 10^{-6}}{0.4} \text{ В} = (9 \cdot 10^9) \cdot (2.5 \cdot 10^{-6}) \text{ В} = 22.5 \cdot 10^3 \text{ В} = 22.5 \text{ кВ}$

Ответ: Потенциал оболочки равен $22.5 \cdot 10^3$ В (или $22.5$ кВ).