Номер 591, страница 82, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Потенциал электростатического поля. Разность потенциалов - номер 591, страница 82.

Условие.

591. H Два небольших проводящих заряженных шара радиусом $\text{r}$ каждый расположены на расстоянии $\text{l}$ друг от друга ($l \gg 2r$). Шары поочерёдно на некоторое время заземляют. Определите потенциал первого шара после первых двух последовательных заземлений. Первоначально каждый шар имел заряд $\text{q}$.

Решение.

Дано:

Радиус каждого шара: $\text{r}$

Расстояние между центрами шаров: $\text{l}$

Условие: $l \gg 2r$

Начальный заряд каждого шара: $q_0 = q$

Найти:

Потенциал первого шара после двух последовательных заземлений $\varphi_1$.

Решение:

Потенциал на поверхности проводящего шара создается как собственным зарядом, так и зарядом соседнего шара. Так как расстояние между шарами значительно больше их радиусов ($l \gg r$), то при расчете потенциала, создаваемого одним шаром в месте расположения другого, его можно рассматривать как точечный заряд.

Потенциал первого и второго шаров в общем виде определяется по формулам:

$\varphi_1 = k \frac{q_1}{r} + k \frac{q_2}{l}$

$\varphi_2 = k \frac{q_2}{r} + k \frac{q_1}{l}$

где $q_1$ и $q_2$ – заряды первого и второго шаров соответственно, а $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ – электростатическая постоянная.

Процесс происходит в два этапа.

1. Первое заземление (заземляем первый шар).

При заземлении первого шара его потенциал становится равным нулю ($\varphi_1 = 0$). Заряд второго шара в этот момент еще равен первоначальному $q_2 = q$. Заряд первого шара изменится и станет равным $q_1'$.

Запишем условие равенства потенциала первого шара нулю:

$\varphi_1 = k \frac{q_1'}{r} + k \frac{q}{l} = 0$

Отсюда находим новый заряд первого шара $q_1'$:

$\frac{q_1'}{r} = - \frac{q}{l}$

$q_1' = -q \frac{r}{l}$

После этого заземление с первого шара снимают. Теперь система состоит из шара 1 с зарядом $q_1'$ и шара 2 с зарядом $\text{q}$.

2. Второе заземление (заземляем второй шар).

Теперь заземляем второй шар, его потенциал становится равным нулю ($\varphi_2 = 0$). Заряд первого шара при этом остается $q_1' = -q \frac{r}{l}$. Заряд второго шара изменится и станет равным $q_2'$.

Запишем условие равенства потенциала второго шара нулю:

$\varphi_2 = k \frac{q_2'}{r} + k \frac{q_1'}{l} = 0$

Подставим значение $q_1'$:

$k \frac{q_2'}{r} + k \frac{-q \frac{r}{l}}{l} = 0$

$\frac{q_2'}{r} = \frac{q r}{l^2}$

Отсюда находим новый заряд второго шара $q_2'$:

$q_2' = q \frac{r^2}{l^2}$

После этого заземление со второго шара снимают.

3. Расчет конечного потенциала первого шара.

После двух последовательных заземлений заряды шаров стали равны:

$q_1 = q_1' = -q \frac{r}{l}$

$q_2 = q_2' = q \frac{r^2}{l^2}$

Теперь можно найти конечный потенциал первого шара $\varphi_1$, используя общую формулу:

$\varphi_1 = k \frac{q_1}{r} + k \frac{q_2}{l}$

Подставляем найденные значения зарядов $q_1$ и $q_2$:

$\varphi_1 = k \frac{-q \frac{r}{l}}{r} + k \frac{q \frac{r^2}{l^2}}{l}$

$\varphi_1 = -k \frac{q}{l} + k \frac{q r^2}{l^3}$

Вынесем общий множитель за скобки:

$\varphi_1 = -k \frac{q}{l} (1 - \frac{r^2}{l^2})$

Подставляя $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$, получаем окончательное выражение.

$\varphi_1 = -\frac{q}{4\pi\epsilon_0 l} (1 - \frac{r^2}{l^2})$

Ответ: Потенциал первого шара после двух последовательных заземлений равен $\varphi_1 = -k \frac{q}{l} (1 - \frac{r^2}{l^2}) = -\frac{q}{4\pi\epsilon_0 l} (1 - \frac{r^2}{l^2})$.