Номер 601, страница 83, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Потенциал электростатического поля. Разность потенциалов - номер 601, страница 83.

Условие.

601. [941] Три небольших одинаковых металлических шарика, находящиеся в вакууме, помещены в вершинах равностороннего треугольника. Шарики поочерёдно соединяют с удалённым проводником, потенциал которого поддерживают постоянным. В результате заряд первого шарика оказался равным $4 \text{нКл}$, а второго — $2 \text{мКл}$. Определите заряд третьего шарика.

Решение.

Дано:

Заряд первого шарика после подключения: $q_1 = 4 \text{ нКл}$

Заряд второго шарика после подключения: $q_2 = 2 \text{ мкКл}$

Перевод в систему СИ:

$q_1 = 4 \times 10^{-9} \text{ Кл}$

$q_2 = 2 \times 10^{-6} \text{ Кл}$

Найти:

Заряд третьего шарика $q_3$

Решение:

Обозначим радиус одинаковых металлических шариков как $\text{R}$, сторону равностороннего треугольника, в вершинах которого они расположены, как $\text{a}$, и постоянный потенциал удаленного проводника как $\varphi_0$. Электростатический коэффициент $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$.

Потенциал на поверхности проводящего шарика в вакууме складывается из потенциала, создаваемого его собственным зарядом, и потенциалов, создаваемых другими зарядами. Поскольку шарики небольшие, будем считать их точечными зарядами при расчете потенциала, который они создают в точках расположения других шариков.

Когда шарик соединяют с проводником, его потенциал становится равным $\varphi_0$. Процесс происходит поочередно.

1. Подключение первого шарика. Изначально другие шарики не заряжены. Потенциал первого шарика создается только его собственным зарядом $q_1$: $\varphi_0 = k \frac{q_1}{R}$

2. Подключение второго шарика. К этому моменту первый шарик имеет заряд $q_1$, а третий еще не заряжен. Потенциал на втором шарике является суммой потенциала от его собственного заряда $q_2$ и потенциала, создаваемого зарядом $q_1$, находящимся на расстоянии $\text{a}$: $\varphi_0 = k \frac{q_2}{R} + k \frac{q_1}{a}$

3. Подключение третьего шарика. Первый шарик имеет заряд $q_1$, второй — заряд $q_2$. Потенциал на третьем шарике, заряд которого мы ищем ($q_3$), складывается из потенциала от его собственного заряда и потенциалов, создаваемых зарядами $q_1$ и $q_2$: $\varphi_0 = k \frac{q_3}{R} + k \frac{q_1}{a} + k \frac{q_2}{a} = k \frac{q_3}{R} + k \frac{q_1 + q_2}{a}$

Мы получили систему из трех уравнений для трех этапов. Решим ее относительно $q_3$. Приравняем выражения для $\varphi_0$ из первого и второго этапов: $k \frac{q_1}{R} = k \frac{q_2}{R} + k \frac{q_1}{a}$ Разделив на $\text{k}$, получим: $\frac{q_1}{R} - \frac{q_2}{R} = \frac{q_1}{a}$ $\frac{q_1 - q_2}{R} = \frac{q_1}{a}$ Из этого соотношения можно выразить отношение $\frac{R}{a}$: $\frac{R}{a} = \frac{q_1 - q_2}{q_1}$

Теперь приравняем выражения для $\varphi_0$ из первого и третьего этапов: $k \frac{q_1}{R} = k \frac{q_3}{R} + k \frac{q_1 + q_2}{a}$ $\frac{q_1}{R} - \frac{q_3}{R} = \frac{q_1 + q_2}{a}$ $\frac{q_1 - q_3}{R} = \frac{q_1 + q_2}{a}$ Выразим $q_1 - q_3$: $q_1 - q_3 = (q_1 + q_2) \frac{R}{a}$

Подставим в последнее выражение найденное ранее отношение $\frac{R}{a}$: $q_1 - q_3 = (q_1 + q_2) \left( \frac{q_1 - q_2}{q_1} \right)$ Используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, получаем: $q_1 - q_3 = \frac{q_1^2 - q_2^2}{q_1}$ Теперь выразим искомый заряд $q_3$: $q_3 = q_1 - \frac{q_1^2 - q_2^2}{q_1} = \frac{q_1^2 - (q_1^2 - q_2^2)}{q_1} = \frac{q_1^2 - q_1^2 + q_2^2}{q_1}$ $q_3 = \frac{q_2^2}{q_1}$

Подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу: $q_3 = \frac{(2 \times 10^{-6} \text{ Кл})^2}{4 \times 10^{-9} \text{ Кл}} = \frac{4 \times 10^{-12} \text{ Кл}^2}{4 \times 10^{-9} \text{ Кл}} = 1 \times 10^{-3} \text{ Кл}$

Величина заряда $1 \times 10^{-3} \text{ Кл}$ соответствует 1 милликулону ($1 \text{ мКл}$).

Ответ: заряд третьего шарика равен $1 \text{ мКл}$.