Номер 608, страница 84, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Электроёмкость. Энергия электрического поля конденсатора - номер 608, страница 84.

Условие.

608. [505] Электрон влетает со скоростью $20 \text{ км/с}$ в пространство между пластинами конденсатора ёмкостью $1 \text{ мкФ}$ параллельно пластинам. Определите, на какой угол изменится направление скорости электрона на выходе из конденсатора, если модуль заряда пластин $445 \text{ пКл}$, расстояние между пластинами $2 \text{ см}$, а их длина $10 \text{ см}$.

Решение.

Дано:

Начальная скорость электрона, $v_0 = 20$ км/с

Ёмкость конденсатора, $C = 1$ мкФ

Модуль заряда пластин, $q = 445$ пКл

Расстояние между пластинами, $d = 2$ см

Длина пластин, $l = 10$ см

Заряд электрона, $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл (справочное значение)

Масса электрона, $m_e \approx 9.1 \cdot 10^{-31}$ кг (справочное значение)

Перевод в систему СИ:

$v_0 = 20 \cdot 10^3$ м/с = $2 \cdot 10^4$ м/с

$C = 1 \cdot 10^{-6}$ Ф

$q = 445 \cdot 10^{-12}$ Кл

$d = 2 \cdot 10^{-2}$ м

$l = 10 \cdot 10^{-2}$ м = $0.1$ м

Найти:

Угол изменения направления скорости электрона, $\alpha$.

Решение:

Когда электрон влетает в пространство между пластинами конденсатора, он попадает в однородное электрическое поле. На него начинает действовать электрическая сила, направленная перпендикулярно вектору начальной скорости. Движение электрона можно представить как суперпозицию двух независимых движений: равномерного движения вдоль пластин (по горизонтали) и равноускоренного движения перпендикулярно пластинам (по вертикали).

1. Движение вдоль пластин (ось X):

Горизонтальная составляющая скорости электрона остается постоянной, так как в этом направлении сила не действует: $v_x = v_0$.

Время, которое электрон проводит внутри конденсатора, определяется длиной пластин и горизонтальной скоростью: $t = \frac{l}{v_x} = \frac{l}{v_0}$.

2. Движение перпендикулярно пластинам (ось Y):

Сначала найдем напряженность электрического поля $\text{E}$ между пластинами. Напряжение $\text{U}$ на конденсаторе связано с его зарядом $\text{q}$ и ёмкостью $\text{C}$ формулой $U = \frac{q}{C}$.

Напряженность однородного поля между пластинами равна $E = \frac{U}{d}$. Подставив выражение для $\text{U}$, получим: $E = \frac{q}{C \cdot d}$.

Сила, действующая на электрон в этом поле, равна $F_y = e \cdot E = \frac{e \cdot q}{C \cdot d}$.

Согласно второму закону Ньютона, эта сила сообщает электрону ускорение: $a_y = \frac{F_y}{m_e} = \frac{e \cdot q}{m_e \cdot C \cdot d}$.

Вертикальная составляющая скорости электрона $v_y$ на выходе из конденсатора будет равна: $v_y = a_y \cdot t$. Подставим выражения для $a_y$ и $\text{t}$:

$v_y = \left(\frac{e \cdot q}{m_e \cdot C \cdot d}\right) \cdot \left(\frac{l}{v_0}\right) = \frac{e \cdot q \cdot l}{m_e \cdot C \cdot d \cdot v_0}$.

3. Нахождение угла отклонения:

Результирующий вектор скорости на выходе будет иметь компоненты $v_x$ и $v_y$. Угол $\alpha$, на который отклонится вектор скорости от первоначального направления, можно найти из соотношения:

$\tan(\alpha) = \frac{v_y}{v_x} = \frac{\frac{e \cdot q \cdot l}{m_e \cdot C \cdot d \cdot v_0}}{v_0} = \frac{e \cdot q \cdot l}{m_e \cdot C \cdot d \cdot v_0^2}$.

Подставим числовые значения в полученную формулу (в системе СИ):

$\tan(\alpha) = \frac{(1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (445 \cdot 10^{-12} \text{ Кл}) \cdot (0.1 \text{ м})}{(9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}) \cdot (2 \cdot 10^{-2} \text{ м}) \cdot (2 \cdot 10^4 \text{ м/с})^2}$

$\tan(\alpha) = \frac{7.12 \cdot 10^{-30}}{9.1 \cdot 10^{-31} \cdot 10^{-6} \cdot 2 \cdot 10^{-2} \cdot 4 \cdot 10^8} = \frac{7.12 \cdot 10^{-30}}{72.8 \cdot 10^{-31}} = \frac{7.12 \cdot 10^{-30}}{7.28 \cdot 10^{-30}} \approx 0.978$

Теперь найдём сам угол:

$\alpha = \arctan(0.978) \approx 44.37^\circ$.

Ответ: $44.37^\circ$.