Номер 614, страница 85, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Электроёмкость. Энергия электрического поля конденсатора - номер 614, страница 85.

Условие.

614. H Рассчитайте электроёмкость системы одинаковых конденсаторов, изображённой на рисунке 133, если разность потенциалов подводится к точкам:

a) $\text{A}$ и $\text{D}$;

б) $\text{A}$ и $\text{E}$. Электроёмкость каждого конденсатора $\text{C}$.

Решение.

Дано

Система из 12 одинаковых конденсаторов, соединенных в виде каркаса куба.

Электроемкость каждого конденсатора: $\text{C}$.

Данные представлены в общем виде и в переводе в систему СИ не нуждаются.

Найти:

a) Эквивалентную электроемкость $C_{eq}$ между точками A и D.

б) Эквивалентную электроемкость $C_{eq}$ между точками A и E.

Решение

Рассматриваемая система представляет собой электрическую цепь, в которой 12 одинаковых конденсаторов емкостью $\text{C}$ образуют ребра куба. Точки A, D, E и другие являются вершинами этого куба. Для нахождения эквивалентной емкости воспользуемся методом симметрии и потенциалов узлов.

a) А и D

В этом случае напряжение подводится к двум соседним (смежным) вершинам куба. Пусть к точкам А и D подключен источник напряжения $\text{U}$, так что потенциал точки A равен $\text{U}$ ($V_A = U$), а потенциал точки D равен 0 ($V_D = 0$).

В силу симметрии куба относительно подключения к вершинам A и D, потенциалы некоторых вершин будут равны. Обозначим другие вершины куба стандартным образом: B, C, E, F, G, H. Пусть A, B, C, D - вершины нижнего основания, а E, F, G, H - вершины верхнего основания (E над A, F над B и т.д.). Тогда точки A и D — соседние вершины на нижнем основании.

Вершины B и E симметрично расположены относительно пары A-D (пути A-B и A-E, а также D-C-B и D-H-E эквивалентны), поэтому их потенциалы равны: $V_B = V_E$.

Аналогично, вершины C и H симметрично расположены относительно пары A-D, поэтому $V_C = V_H$.

Также существует плоскость симметрии, перпендикулярная ребру AD и проходящая через его середину. Отражение в этой плоскости меняет местами A и D. Это означает, что для любой вершины P с потенциалом $V_P$, потенциал ее зеркального отражения P' будет равен $V_{P'} = U - V_P$. Для нашей схемы это дает: $V_C = U - V_B$, $V_H = U - V_E$, $V_G = U - V_F$.

Запишем уравнения, исходя из равенства нулю суммы зарядов на обкладках конденсаторов, сходящихся в каждом узле (аналог первого правила Кирхгофа).

Для узла B: $C(V_B - V_A) + C(V_B - V_C) + C(V_B - V_F) = 0$.
$V_B - U + V_B - (U - V_B) + V_B - V_F = 0$
$4V_B - V_F - 2U = 0 \implies 4V_B = 2U + V_F$ (1)

Для узла F: $C(V_F - V_B) + C(V_F - V_E) + C(V_F - V_G) = 0$.
Так как $V_B = V_E$ и $V_G = U - V_F$:
$2C(V_F - V_B) + C(V_F - (U - V_F)) = 0$
$2(V_F - V_B) + 2V_F - U = 0$
$4V_F - 2V_B - U = 0 \implies 2V_B = 4V_F - U$ (2)

Решим систему уравнений (1) и (2). Умножим уравнение (2) на 2 и получим $4V_B = 8V_F - 2U$. Приравняем правые части с уравнением (1):
$8V_F - 2U = 2U + V_F$
$7V_F = 4U \implies V_F = \frac{4}{7}U$.

Теперь найдем $V_B$ из уравнения (2):
$2V_B = 4(\frac{4}{7}U) - U = \frac{16}{7}U - \frac{7}{7}U = \frac{9}{7}U \implies V_B = \frac{9}{14}U$.

Так как $V_E = V_B$, то $V_E = \frac{9}{14}U$.

Общий заряд $\text{Q}$, прошедший через источник, равен сумме зарядов на конденсаторах, подключенных к точке A:
$Q = Q_{AD} + Q_{AB} + Q_{AE} = C(V_A - V_D) + C(V_A - V_B) + C(V_A - V_E)$
$Q = C(U - 0) + C(U - \frac{9}{14}U) + C(U - \frac{9}{14}U)$
$Q = CU + C(\frac{5}{14}U) + C(\frac{5}{14}U) = C(1 + \frac{5}{14} + \frac{5}{14})U = C(\frac{14+5+5}{14})U = \frac{24}{14}CU = \frac{12}{7}CU$.

Эквивалентная емкость системы $C_{eq}$ равна отношению общего заряда к напряжению:
$C_{eq} = \frac{Q}{U} = \frac{\frac{12}{7}CU}{U} = \frac{12}{7}C$.

Ответ: $C_{eq} = \frac{12}{7}C$.

б) А и Е

В условии задачи точки A, D и E являются вершинами куба. Как правило, в таких задачах, если не указано иное, под разными буквами (кроме тех, что соединены напрямую) понимают вершины, не являющиеся одной и той же. В стандартной разметке куба вершины D и E являются смежными с вершиной A (например, A=(0,0,0), D=(1,0,0), E=(0,1,0)).

Куб — это геометрическое тело с высокой степенью симметрии. Это означает, что эквивалентная электроемкость между любыми двумя смежными вершинами будет одинаковой, так как любую пару смежных вершин можно совместить с любой другой парой смежных вершин путем поворота куба в пространстве.

Поскольку в пункте а) мы нашли емкость между смежными вершинами A и D, а в пункте б) требуется найти емкость между смежными вершинами A и E, то физическая ситуация и электрическая схема абсолютно идентичны. Следовательно, результат вычислений будет таким же.

Ответ: $C_{eq} = \frac{12}{7}C$.