Номер 621, страница 86, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Электроёмкость. Энергия электрического поля конденсатора - номер 621, страница 86.

Условие.

621. H Определите изменение заряда проводящей сферы радиусом 10 см, первоначально заряженной до потенциала $10^4$ В, если с течением времени она частично потеряла заряд и её энергия уменьшилась на $1,5 \cdot 10^{-4}$ Дж.

Решение.

Дано:

$R = 10 \text{ см}$

$\phi_1 = 10^4 \text{ В}$

$\Delta W_{уменьшение} = 1.5 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$

$R = 0.1 \text{ м}$
$\phi_1 = 10^4 \text{ В}$
$\Delta W = W_2 - W_1 = -1.5 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$

Найти:

$\Delta q$

Решение:

Электроёмкость уединённой проводящей сферы радиусом $\text{R}$ в вакууме (или воздухе) определяется по формуле:

$C = 4 \pi \varepsilon_0 R$

где $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная. Удобнее использовать соотношение $C = \frac{R}{k}$, где $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \approx 9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2$.

Вычислим ёмкость сферы:

$C = \frac{0.1 \text{ м}}{9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2} \approx 1.11 \cdot 10^{-11} \text{ Ф}$

Начальный заряд сферы $q_1$ найдём из соотношения $q = C \phi$:

$q_1 = C \cdot \phi_1 = (1.11 \cdot 10^{-11} \text{ Ф}) \cdot (10^4 \text{ В}) = 1.11 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}$

Энергия $\text{W}$ заряженного до потенциала $\phi$ проводника с зарядом $\text{q}$ равна:

$W = \frac{q \phi}{2} = \frac{C \phi^2}{2} = \frac{q^2}{2C}$

Начальная энергия сферы $W_1$ была:

$W_1 = \frac{q_1 \phi_1}{2} = \frac{(1.11 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}) \cdot (10^4 \text{ В})}{2} \approx 5.55 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$

По условию, энергия сферы уменьшилась, то есть её изменение $\Delta W$ отрицательно. Конечная энергия $W_2$ равна:

$W_2 = W_1 + \Delta W = 5.55 \cdot 10^{-4} \text{ Дж} - 1.5 \cdot 10^{-4} \text{ Дж} = 4.05 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$

Используя формулу $W = \frac{q^2}{2C}$, найдём конечный заряд сферы $q_2$:

$q_2 = \sqrt{2 C W_2} = \sqrt{2 \cdot (1.11 \cdot 10^{-11} \text{ Ф}) \cdot (4.05 \cdot 10^{-4} \text{ Дж})} = \sqrt{8.991 \cdot 10^{-15} \text{ Кл}^2} \approx 0.948 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}$

Изменение заряда $\Delta q$ — это разность между конечным и начальным зарядами:

$\Delta q = q_2 - q_1 = 0.948 \cdot 10^{-7} \text{ Кл} - 1.11 \cdot 10^{-7} \text{ Кл} = -0.162 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}$

Приводя к стандартному виду и округляя до двух значащих цифр (в соответствии с точностью исходных данных), получаем:

$\Delta q \approx -1.6 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}$

Ответ: $-1.6 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}$.