Номер 622, страница 86, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Электроёмкость. Энергия электрического поля конденсатора - номер 622, страница 86.

Условие.

622. [942] Два конденсатора ёмкостями $C_1$ и $C_2$ соединены последовательно и подключены к источнику постоянного напряжения $\text{U}$ (рис. 136). На сколько изменится заряд конденсаторов, если конденсатор ёмкостью $C_2$ заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$?

Рис. 136

Решение.

Дано:

Емкость первого конденсатора: $C_1$

Емкость второго конденсатора (начальная): $C_2$

Напряжение источника: $\text{U}$

Диэлектрическая проницаемость: $\epsilon$

Найти:

Изменение заряда конденсаторов: $\Delta q$

Решение:

1. Найдем заряд на конденсаторах в начальном состоянии (до заполнения диэлектриком).

Конденсаторы соединены последовательно. Их общая (эквивалентная) емкость $C_{общ1}$ определяется по формуле:

$\frac{1}{C_{общ1}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{C_1 + C_2}{C_1 C_2}$

Отсюда общая емкость равна:

$C_{общ1} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$

При последовательном соединении заряд на каждом конденсаторе одинаков и равен общему заряду цепи. Начальный заряд $q_1$ равен:

$q_1 = C_{общ1} U = \frac{C_1 C_2 U}{C_1 + C_2}$

2. Найдем заряд на конденсаторах в конечном состоянии (после заполнения конденсатора $C_2$ диэлектриком).

Емкость конденсатора, заполненного диэлектриком с проницаемостью $\epsilon$, увеличивается в $\epsilon$ раз. Новая емкость второго конденсатора $C_2'$ будет:

$C_2' = \epsilon C_2$

Новая общая емкость цепи $C_{общ2}$ при последовательном соединении $C_1$ и $C_2'$ равна:

$\frac{1}{C_{общ2}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2'} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{\epsilon C_2} = \frac{\epsilon C_2 + C_1}{C_1 \epsilon C_2}$

Отсюда новая общая емкость:

$C_{общ2} = \frac{\epsilon C_1 C_2}{C_1 + \epsilon C_2}$

Новый заряд на конденсаторах $q_2$ будет равен:

$q_2 = C_{общ2} U = \frac{\epsilon C_1 C_2 U}{C_1 + \epsilon C_2}$

3. Найдем, на сколько изменился заряд. Изменение заряда $\Delta q$ равно разности конечного и начального зарядов:

$\Delta q = q_2 - q_1 = \frac{\epsilon C_1 C_2 U}{C_1 + \epsilon C_2} - \frac{C_1 C_2 U}{C_1 + C_2}$

Вынесем общий множитель $C_1 C_2 U$ за скобки:

$\Delta q = C_1 C_2 U \left( \frac{\epsilon}{C_1 + \epsilon C_2} - \frac{1}{C_1 + C_2} \right)$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$\Delta q = C_1 C_2 U \frac{\epsilon(C_1 + C_2) - 1(C_1 + \epsilon C_2)}{(C_1 + \epsilon C_2)(C_1 + C_2)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\Delta q = C_1 C_2 U \frac{\epsilon C_1 + \epsilon C_2 - C_1 - \epsilon C_2}{(C_1 + \epsilon C_2)(C_1 + C_2)}$

Упростим числитель:

$\Delta q = C_1 C_2 U \frac{\epsilon C_1 - C_1}{(C_1 + C_2)(C_1 + \epsilon C_2)} = C_1 C_2 U \frac{C_1(\epsilon - 1)}{(C_1 + C_2)(C_1 + \epsilon C_2)}$

Окончательно получаем:

$\Delta q = \frac{U C_1^2 C_2 (\epsilon - 1)}{(C_1 + C_2)(C_1 + \epsilon C_2)}$

Поскольку диэлектрическая проницаемость $\epsilon > 1$, то $\epsilon - 1 > 0$, и заряд на конденсаторах увеличится.

Ответ: Заряд конденсаторов изменится на величину $\Delta q = \frac{U C_1^2 C_2 (\epsilon - 1)}{(C_1 + C_2)(C_1 + \epsilon C_2)}$.