Номер 620, страница 86, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Электроёмкость. Энергия электрического поля конденсатора - номер 620, страница 86.

Условие.

620. В плоский воздушный конденсатор вставляется металлическая пластина на толщиной $d_0$. Заряд на обкладках конденсатора $\text{q}$. Конденсатор отключён от источника. Расстояние между пластинами $\text{d}$, площадь пластин $\text{S}$ (рис. 135). Определите изменение электроёмкости конденсатора и энергии его электрического поля.

Рис. 135

Решение.

Дано:

Плоский воздушный конденсатор

Заряд на обкладках: $\text{q}$

Расстояние между пластинами: $\text{d}$

Площадь пластин: $\text{S}$

Толщина вставляемой металлической пластины: $d_0$

Конденсатор отключен от источника

Диэлектрическая проницаемость вакуума (воздуха): $\epsilon_0$

Найти:

Изменение электроёмкости: $\Delta C$

Изменение энергии электрического поля: $\Delta W$

Решение:

Изменение электроёмкости конденсатора

Электроёмкость плоского воздушного конденсатора до внесения пластины определяется формулой:

$C_1 = \frac{\epsilon_0 S}{d}$

После того как в конденсатор вставили металлическую пластину толщиной $d_0$, поле внутри этой пластины стало равным нулю (так как пластина является проводником). Это эквивалентно тому, что пространство между обкладками конденсатора, заполненное электрическим полем, уменьшилось на толщину пластины. Таким образом, систему можно рассматривать как новый плоский конденсатор с расстоянием между обкладками $d' = d - d_0$.

Новая электроёмкость конденсатора $C_2$ будет равна:

$C_2 = \frac{\epsilon_0 S}{d - d_0}$

Изменение электроёмкости $\Delta C$ — это разность между конечной ($C_2$) и начальной ($C_1$) ёмкостями:

$\Delta C = C_2 - C_1 = \frac{\epsilon_0 S}{d - d_0} - \frac{\epsilon_0 S}{d}$

Приводя выражение к общему знаменателю, получаем:

$\Delta C = \epsilon_0 S \left( \frac{d - (d - d_0)}{d(d - d_0)} \right) = \epsilon_0 S \frac{d - d + d_0}{d(d - d_0)} = \frac{\epsilon_0 S d_0}{d(d - d_0)}$

Так как $d > d_0 > 0$, то $\Delta C > 0$, что означает, что электроёмкость конденсатора увеличилась.

Ответ: Изменение электроёмкости конденсатора равно $\Delta C = \frac{\epsilon_0 S d_0}{d(d - d_0)}$.

Изменение энергии его электрического поля

По условию задачи, конденсатор отключён от источника питания. Это означает, что заряд $\text{q}$ на его обкладках остаётся постоянным. Энергию электрического поля конденсатора в этом случае удобно вычислять по формуле:

$W = \frac{q^2}{2C}$

Начальная энергия конденсатора ($W_1$):

$W_1 = \frac{q^2}{2C_1} = \frac{q^2}{2 \frac{\epsilon_0 S}{d}} = \frac{q^2 d}{2\epsilon_0 S}$

Конечная энергия конденсатора ($W_2$) после внесения металлической пластины:

$W_2 = \frac{q^2}{2C_2} = \frac{q^2}{2 \frac{\epsilon_0 S}{d - d_0}} = \frac{q^2 (d - d_0)}{2\epsilon_0 S}$

Изменение энергии $\Delta W$ равно разности между конечной и начальной энергиями:

$\Delta W = W_2 - W_1 = \frac{q^2 (d - d_0)}{2\epsilon_0 S} - \frac{q^2 d}{2\epsilon_0 S}$

Вынесем общий множитель за скобки:

$\Delta W = \frac{q^2}{2\epsilon_0 S} ( (d - d_0) - d ) = \frac{q^2}{2\epsilon_0 S} (-d_0) = -\frac{q^2 d_0}{2\epsilon_0 S}$

Так как $q^2$, $d_0$, $\epsilon_0$ и $\text{S}$ являются положительными величинами, то $\Delta W < 0$. Это означает, что энергия электрического поля конденсатора уменьшилась. Уменьшение энергии связано с тем, что электрическое поле совершает положительную работу по втягиванию проводящей пластины в конденсатор.

Ответ: Изменение энергии электрического поля равно $\Delta W = -\frac{q^2 d_0}{2\epsilon_0 S}$.