Номер 619, страница 86, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Основы электродинамики. Электростатика. Электроёмкость. Энергия электрического поля конденсатора - номер 619, страница 86.

Условие.

619. H Пластины плоского конденсатора подключены к источнику тока с $\mathscr{E} = 2$ В. Как изменятся электроёмкость и энергия электрического поля конденсатора, если конденсатор наполовину заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon = 2$? Расстояние между пластинами $d = 1$ см, площадь пластин $S = 50$ см$^2$.

Решение.

Дано:

ЭДС источника тока, $ℰ = 2 \text{ В}$

Диэлектрическая проницаемость, $ε = 2$

Расстояние между пластинами, $d = 1 \text{ см}$

Площадь пластин, $S = 50 \text{ см}^2$

Электрическая постоянная, $ε_0 \approx 8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}$

Перевод в систему СИ:

$d = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

$S = 50 \text{ см}^2 = 50 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2$

Поскольку конденсатор подключен к источнику, напряжение на нем постоянно и равно ЭДС: $U = ℰ = 2 \text{ В}$.

Найти:

Как изменятся электроёмкость $\text{C}$ и энергия электрического поля $\text{W}$ конденсатора.

Решение:

Электроёмкость

1. Найдем начальную электроёмкость конденсатора (до заполнения диэлектриком). Формула ёмкости плоского конденсатора:

$C_1 = \frac{ε_0 S}{d}$

Подставим числовые значения:

$C_1 = \frac{8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м} \cdot 5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2}{0.01 \text{ м}} = 4.425 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} = 4.425 \text{ пФ}$

2. После того как конденсатор наполовину заполнили диэлектриком, его можно представить как систему из двух параллельно соединенных конденсаторов. Первый конденсатор (воздушный) имеет площадь пластин $S/2$, второй (с диэлектриком) также имеет площадь $S/2$. Расстояние между пластинами $\text{d}$ для обоих одинаково.

Ёмкость первого конденсатора (воздушного):

$C_a = \frac{ε_0 (S/2)}{d} = \frac{1}{2} \frac{ε_0 S}{d} = \frac{1}{2} C_1$

Ёмкость второго конденсатора (с диэлектриком):

$C_b = \frac{ε ε_0 (S/2)}{d} = \frac{ε}{2} \frac{ε_0 S}{d} = \frac{ε}{2} C_1$

При параллельном соединении общая ёмкость равна сумме ёмкостей:

$C_2 = C_a + C_b = \frac{1}{2} C_1 + \frac{ε}{2} C_1 = \frac{1+ε}{2} C_1$

3. Найдем, как изменилась ёмкость:

Отношение конечной ёмкости к начальной:

$\frac{C_2}{C_1} = \frac{1+ε}{2} = \frac{1+2}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$

Ёмкость увеличится в 1,5 раза.

Новое значение ёмкости:

$C_2 = 1.5 \cdot C_1 = 1.5 \cdot 4.425 \text{ пФ} \approx 6.64 \text{ пФ}$

Ответ: Электроёмкость конденсатора увеличится в 1,5 раза, с $4.425 \text{ пФ}$ до $6.64 \text{ пФ}$.

Энергия электрического поля

1. Начальная энергия электрического поля конденсатора. Так как конденсатор подключен к источнику, напряжение на нем постоянно.

$W_1 = \frac{C_1 U^2}{2}$

Подставим числовые значения:

$W_1 = \frac{4.425 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} \cdot (2 \text{ В})^2}{2} = 8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Дж} = 8.85 \text{ пДж}$

2. Конечная энергия электрического поля конденсатора.

$W_2 = \frac{C_2 U^2}{2}$

Подставим выражение для $C_2$:

$W_2 = \frac{(\frac{1+ε}{2} C_1) U^2}{2} = \frac{1+ε}{2} \cdot \frac{C_1 U^2}{2} = \frac{1+ε}{2} W_1$

3. Найдем, как изменилась энергия:

Отношение конечной энергии к начальной:

$\frac{W_2}{W_1} = \frac{1+ε}{2} = \frac{1+2}{2} = 1.5$

Энергия также увеличится в 1,5 раза.

Новое значение энергии:

$W_2 = 1.5 \cdot W_1 = 1.5 \cdot 8.85 \text{ пДж} \approx 13.28 \text{ пДж}$

Ответ: Энергия электрического поля конденсатора увеличится в 1,5 раза, с $8.85 \text{ пДж}$ до $13.28 \text{ пДж}$.